min f (u, x)
u
s.t.g (u , x) 0 h(u , x) 0
其中， f 为目标函数， u 为控制变量， x 为状态变量。 g 式为等式约束条件。最优潮流是经过优化的潮流 分布，所以它一定要满足基本的潮流方程，此即等 式约束的由来。 h 式为不等式约束条件。最优潮流包括了系统运行 的安全性及电能质量，而且可调控制变量本身也有 一定的容许调节范围，因此，在计算中要对控制变 量以及通过潮流计算才能得到的其它量（状态变量 及函数变量）的取值加以限制，由此产生了不等式 约束条件。 目标函数 f 及等式、不等式约束 g 及 h 中的大部分 约束都是变量的非线性函数，也就是说，电力系统 的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划 问题。 首先介绍简化梯度算法。这个算法是最优潮流 问题被提出以后，能够成功地求解较大规模的最优 潮流问题并被广泛采用的第一个算法，直至现在， 它仍被看成一种较为成功地算法而被广泛引用。简 化梯度法是以极坐标形式的牛顿潮流算法作为基 础的，其等式及不等式约束如前介绍。 当仅有等式约束条件时，可以引用经典的拉格 朗日乘子法，将原来的有约束最优化问题转变成无 约束最优化问题。然后再求导，通过联立求解方程 组的方法可求得此非线性规划问题的最优解。但是 通常由于方程式数目众多及其非线性性质，使得联 立求解的计算量相当巨大，甚至有时还相当困难， 采用更为实用的迭代下降法。这种方法的基本思想 是，从一个初始点开始，确定一个搜索方向，沿着
华中科技大学电力系统分析课程论文（HUST Paper）
最优化潮流算法综述
张军龙
（华中科技大学电气与电子工程学院，硕 1101 班，M201171108）
摘要：电力系统的最优潮流是一个典型的非线性优化问题，且由于约束的复杂性使得其计算复杂，难度较大。虽然人们已经 提出了许多种方法，并且在部分场合有所应用，但是要大规模实用化，满足电力系统的运行要求还有不少问题要解决。本文 总结了国内外关于电力系统最优潮流算法的研究现状，对最优潮流计算的经典算法，现代算法以及其它算法进行了介绍，同 时还对最优潮流的各种算法进行了分析比较。并提出了针对当前发展趋势，算法的潜在研究方向。 关键词：最优潮流 简化梯度法 牛顿法 内点法 解耦法 遗传算法 模拟退火算法。
华中科技大学电力系统分析课程论文（HUST Paper）
Hessian 阵对角元易出现小值或零值，造成矩阵奇 异。 可采用以适应性移动罚函数处理Hessian阵小或 零对角元素的方法，或者采用改进的软惩罚策略， 这种方法还可以提高牛顿法的收敛性和计算速度。 采用牛顿法作为优化方法，使得最优潮流牛顿算法 具有二次收敛速度，能经过少数几次迭代便收敛而 找到最优点，但通常为减少内存及每次迭代的计算 量就应尽量保持迭代矩阵的稀疏性。概括地说，牛 顿最优潮流算法的优点在于，利用了二阶导数信 息，收敛较快，使用稀疏技术节省内存，可用于大 规模网络。缺点是：难以有效确定约束集，普遍用 试 验迭 代法， 编程 实现困 难； 对应控 制变 量的 Hessian 阵对角元易出现小值或零值，造成矩阵奇 异；引入的La—grange乘子的初值对迭代计算的稳 定性影响大。在实际应用中，综合考虑这几条，才 能保证牛顿法最优潮流的高性能。 内点法也是一种较为经典的最优潮流算法，它 最初是作为一种线性规划算法，为解决单纯形法计 算量随变量规模而剧增而提出来的。内点法的基本 原理和做法是，从初始内点出发，沿着可行方向， 求出使目标函数值下降的后继内点，沿另一个可行 方向求出使目标函数值下降的内点，重复以上步 骤，从可行域内部向最优解迭代，得出一个由内点 组成的序列，使得目标函数值严格单调下降。其特 [4][6] 征是迭代次数和系统规模无关 。内点法原用于 求解线性规划问题，现在该方法已被扩展应用于求 解二次规划和非线性规划模型，可以用来解最优潮 流问题。和牛顿法相比，由于内点法在可行域内部 向最优解迭代，没有识别起作用的约束集的困难。 内点法包括：投影尺度法、仿射变换法和路径跟踪 法。投影尺度法在 OPF问题中性能较差，在实际应 用中很少使用；而仿射尺度法和原一对偶内点算法 使用较广。由于对偶仿射尺度法在确定初始内点可 行解比较复杂，并且在最优点附近收敛速度较慢， 限制了该方法在解决0PF问题中的应用；而原一对 偶内点算法由于其收敛迅速，对初值的选择不敏 [5][7][8] 感，是目前广大学者研究最多的内点算法 。 以上为对牛顿法最优潮流算法的分析， 在实际 中，为了进一步减少计算量及内存需量，利用电力 系统有功及无功间的弱相关性质， 将P---Q解耦技术 应用于演化而来的应用海森矩阵法求最优解点的 迭代方程式。即形成了解耦型最优潮流牛顿算法。 既然在常规潮流计算中快速解耦潮流算法能
Review Optimization Flow Algorithm
Zhang Jun-long （College of Electrical & Electronic Engineering HUST, M.S Class 1101, M201171108）
Abstract: The power system optimal power flow is a typical nonlinear optimization problem, and because the complexity of the constraints of its computational complexity, difficult. While many methods have been proposed, and some applications in some situations, but to a large-scale practical to meet the operational requirements of power system there are still many problems to solve. This paper summarizes the optimal power flow at home and abroad on Research algorithm, optimal power flow calculation of the classical algorithms, modern algorithms and other algorithms were introduced, but also on the optimal power flow analysis and comparison of various algorithms. And proposed for the current development trend, the algorithm of the potential research directions. Keywords: optimal power flow Newton simplified gradient decoupling method interior-point method of genetic algorithm simulated annealing algorithm.
1
早在 1920 年出现的经济负荷调度，以及 20 世 纪 20 年代在电力系统功率调度开始使用的等耗量 微增率准则 EICC（Equal Incremental Cost Criteria） 总结中就涉及了最优化潮流的相关问题。等耗量微 增率准则至今在一些商用 OPF 中仍有应用。 而现代 的经济调度可以视为 OPF 问题的简化， 它们都是优 化问题，最终实现目标函数的最小化。经济调度一 般考虑发电机有功的分配，同时考虑的约束多仅为 潮流功率方程等式的约束。20 世纪 60 年代初法国 学者 Carpentier 介绍了一种以非线性规划方法来解 决经济分配问题的方法，首次引入了电压约束和其 它运行约束，提出了由于目标函数和约束条件不同 而构成应用范围不同的最优潮流数学模型，这也即 是最优潮流问题的最初模型。随后的大量学者，在 此基础上，从改善算法的收敛性能，提高计算速度
这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后再 由这个新的点开始，再重复进行上述步骤，直到所 求解满足收敛判据为止。而在很多情况下，最优潮 流的不等式约束条件很多。按性质将其分为控制变 量不等式约束和函数不等式约束。对第一种情况， 若控制变量超过其限值时，则该越界的控制变量就 被强制在相应的界上，即使得目标函数能进一步的 减小。而对于函数不等式约束无法采用和控制变量 不等式约束相同的办法来处理，通常采用罚函数的 方法。罚函数的基本思路是将约束条件引入原来的 目标函数而形成一个新的函数将原来有约束最优 化问题的求解转化成一系列无约束最优化问题的 [2] 求解 。最优潮流的这种算法原理比较简单，存储 需求小，程序设计也比较简便。但是这种算法存在 很多缺点：在计算过程中会出现锯齿现象，收敛性 较差，尤其是在接近最优点附近收敛速度很慢；每 次迭代都要重新计算潮流， 计算量很大， 耗时较多； 另外，采用罚函数处理不等式时，罚因子数值的选 取对算法的收敛速度影响很大等等。现在对这种方 法用于最优潮流的研究己经很少。 最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用 非线性规划的各种方法来求解，更由于结合了电力 系统的固有物理特性，在变量的划分、等式及不等 式约束条件的处理、有功与无功的分解、变量修正 方向的决定、甚至基本潮流计算方法的选择等等方 面，都可以有各种不同的方案。采用非线性规划的 方法，也有很多不同的算法，其中的最优潮流牛顿 算法，是得到了广泛认可并予以优选的一种算法。 牛顿法是另一种求无约束极值的方法。它是一 种直接求解Kuhn—Tucker等式寻优的方法。以牛顿 法为基础的最优潮流用以实现系统无功的优化的 方法被公认为是牛顿OPF算法实用化的重大飞跃。 该法以Lagrange乘子法处理等式约束，以惩罚函数 法处理违约的变量不等式约束。将电力系统的稀疏 [3] 性和牛顿法结合起来，可以大大减小计算量 。牛 顿法的难点在于，在迭代的过程中，中间变量是不 满足潮流方程的。这样，就会在每一个迭代步变量 修正后，无法判断不等式约束是否越界。而如果无 法确定那些越界的不等式就无法形成罚函数，而且 引入的罚函数对Hessian阵的部分对角元素有影响， 会明显改变计算结果。因此对违约不等式约束的处 理，在牛顿法中多采用试验迭代处理，对违约变量 进行修正。牛顿法另一个难题是：对应控制变量的