考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -5、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

作业：1、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值；⑵方程的另一个解。

考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

针对练习：1、下列方程无解的是（ ）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x 类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x 典型例题：例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x xD 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）A.2321=-=，x xB.2321-==，x xC.3321-==，x xD.2221-==，x x 例4、解方程： ()04321322=++++x x例5、已知023222=--y xy x ,则yx y x -+的值为 。

变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。

针对练习：1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：3、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或24、方程：2122=+x x 的解是 。

类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

变式：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

变式1：已知041122=---+x x xx ，则=+x x 1 . 变式2：如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： aac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。

考点四、根的判别式ac b 42-根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例3、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆即：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .针对练习：1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 考点五、根与系数的关系⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：ac x x a b x x =-=+2121, ⑶应用：整体代入求值。

典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、22b a +之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

典型例题：1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。

2、解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。

3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

考点六：一元二次方程应用题典型例题一例 某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析 设平均每月的增长率为x .那么九月份售出电脑)200200(x +台，即)1(200x +台，十月份售出[]x x x )1(200)1(200+++台，即2)1(200x +台，于是根据题意，可以列出方程.解：设平均每月增长的百分率为x .依题意，有∴ 1.2,1.021-==x x （不符合题意，舍去）答：平均每月增长的百分率为10%.说明 在有关增长率的问题中，要掌握等量关系：p x a n =±)1(，其中a 为变化前的数，如本题中的200台，p 为变化后的数，如本题中的242台，x 为增长（降低）率，n 为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此2=n .典型例题二例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为 .解 设平均增长率为x ，则211)1(2+=+x %.∴ 1.11±=+x .∴ 1.2,1.021-==x x （不合题意，舍去）.∴ x =10%.说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，列出方程.典型例题四例 （安徽省，1997）如图，要建一个面积为1502m 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a 米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？解 （1）设鸡场的宽为x 米，则.150)235(=-x x∴ .5.7,1021==x x当宽为10米时，长为35-20=15米.当宽为5.7米时，长为35-15=20米.（2）由（1）的结果可知，题中的墙长a 对于问题的解有严格的限制作用. 当15<a 时，问题无解；当2015<≤a 时，问题有一解，只可建宽为10米，长15米一种规格的鸡场； 当20≥a 时，问题有两解，可建宽10米，长15米，或宽为5.7米，长为20米两种规格的鸡场.说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出长与宽，根据面积公式列出方程，易错点是在讨论a 的限制作用时漏解或叙述不清.典型例题五例 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为)50(x +元，则每个商品得利润[]40)50(-+x 元，因为每涨价1元，其销售量会减少10个，则每个涨价x 元，其销售量会减少x 10个，故销售量为)10500(x -个，为了赚得8000元利润，则应有[]800040)50()10500(=-+⋅-x x ，进而可以求解.解 设每个商品涨价x 元，则销售价为)50(x +元，销售量为)10500(x -个. 根据题意，得[]800040)50()10500(=-+-x x ；整理，得解之，得101=x ，302=x .经检验，101=x ，302=x 都符合题意.当10=x 时，6050=+x ，40010500=-x当30=x 时，8050=+x ，20010500=-x答：要想赚8000元，售价应定为60元或80元，若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。