高次方程
新课程标准
• 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程 是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
• 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程； • 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单
的数字系数的一元二次方程； • 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
课程学习目标
以 做
x m2 2m2
一
些
铺
如果（1）和（2）中的条件
垫
m>-1和m>0去掉又如何解？
设计让推导公式成为一种需要 求根公式使我们省略了每次重复的配方过程.（机器） 求根公式包含初中所学的六种运算,最美的公式 解方程本身就是变形的过程.
b b2 4ac x
2a
解一元二次方程（公式法）
用配方法解方程
程之间的联系，体会
试求 a 2 2007a 等20式0变8 的形的值一。般方法 a2 1
降次，解一元二次方程
从一元二次方程解法的发展历史来看， 我们在教学的安排顺序如下：
1.直接开平方法 2.配方法 3.公式法 4.因式分解法
一元二次方程（配方法）
①用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
一元二次方程ax2 bx c 0a 0
题
（y+1)2与2y的
差.
3y2 =0 ⑥
例1（补）.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) 3x 2 5y 3 (2) x2 4
1 x2
x2
2
(3) x 2 1 x 整式方程 x 1
x2 4 1
(4) 7 x 5 x 2 x
3
2
(5) x 2 4 (x 2)2 整理化简
这样由基本到一般再到特殊的过程是十分切合学生的认
知过程的.
由上述过程我们知道：当一元二次方程的左边能 够分解成两个一次因式的积，而右边等于0时，即可转 化成两个一元一次方程求解，我们把这种解一元二次方
程的方法叫做因式分解法. 突出对方程的结构 的把握,将因式分解法
强调：因式分解法解看一作元是二一次种方比程的配前方提更 是“方程右边必须是零”为.简单的方法.提升变
理解配方法，会用直 能选择适当的方法解一 接开平方法、配方法、 元二次方程；会用一元 公式法、因式分解法 二次方程根的判别式判 解简单的数字系数的 断根的情况 一元二次方程，理解 各种解法的依据
能利用根的判别式说明 含有字母系数的一元二 次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中 待定系数的取值范围； 会应用一元二次方程解 决简单的实际问题
0
m
1
多种情况的讨 论加深对方程 概念的理解.
m 1 0
或 m 1 1 m 0或m 2，或 m 0
m 1
在代入原方程检验
x
0
22.1一元二次方程（第二课时）
用赋值代数 的方法估计根.
例 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,
使可方以列程表如左下右: 两边x相等的未0 知数0.5的值1 就1叫.1方程1的.2 解。1.3 只含有一个未知x2+数px的+q 方程-15的解-8也.75叫-2做根-0.59 0.84 2.29
课时的安排
本章教学时间约需13课时，具体分配如下
（仅供参考）： 22．1 一元二次方程
2课时
22．2 降次
7课时
22．3 实际问题与一元二次方程 2课时
数学活动小结
2课时
教材教法建议---22.1一元二次方程（第一课时）
主要内容：
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式（包括二 次项系数、一次项系数和常数项）.
ax2 bx c 0a 0
解：因为a≠0，两边同除以a，得 x2 b x c 0
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
aa
明确要求会判断方程根的情况. 开平方去绝对值是难点
因为a≠0， b2 4ac 0
b2 4ac 0
b
b2 4ac
x
2a
4a2
b2 4ac 0
b2 4ac 2a
问题1 如图，有一块长方形
铁皮，长为100cm，宽为
x
50cm，在它的四角各切去
一个同样的正方形，然后将
四周突出部分折起，就能制
作一个无盖方盒，如果要制
作的无盖方盒的底面积为3
600cm2,那么铁皮各角应切
去多大的正方形？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都 要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天， 每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
则a+b+c的值为 ;
若a-b+c=0，则此方程必有一个根
.
有4a-2b+c=0,你能确定方程的一个根吗？
例3 若m是方程x2 －x －1 =0的一个根，求
下列代数式值 ①5m2 －5m+2004 ② 2m3 －4m － 1
③m 1 m
已知 a 是方程 x2 2008观x 察1所求0代的数一式个与根方，
教材教法建议---实际问题与一元二次方程
理解二次产生原因
未知数运算生成二次的实际问题
归类整合应用情境
重视阅读能力,提高审题能力
涉及几个量? 几个未知量? 哪个条件可列得方程?
中考题考什么
能利用根的判 别式说明含有 已知：关于字x母的系一数元的二次一方程
则方程x2+px+q=0的正数解满足: A.解的整数部分是0,十分位是5 B.解的整数部分是0,十分位是8 C.解的整数部分是1,十分位是1 D.解的整数部分是1,十分位是2
例1 判断括号里的数是不是下列各方程的解
① x2 2x 4 0 （ 0 ， -1 ， -4 ， 2 ）
② x2- 4=0 ③ 9m2 – 2 m = 0 ④ 3y2 =0
补1 xx 1 7x 1 2x 2
补2 5x2 2 3x
补3 1 x2 2x 1 0
2
运用公式法求一元二次方程的根,注意三点： (1)必须先把方程化为一般形式
(2)务必认准所求题目中a，b，c的取值是多少
(3)会用判别式确定方程有无实数解
能力在过程中生成 规范是痛苦后的选择 解题策略是不断探究不断失败后的经验
例3（补）当m为何值时,关于x的方程是一元二次
方程
要强化二次项系数不为零的意识
能由一元二次 方程的概念确
(m 2)x2 3x 2 0
定二次项系数
(m
1)
xm2
1
未知数的最高次数为所二含值次字范母围的取
x 3 0
(m 3)x2 mx 5
要关注各项系数有意义的条件
例4 (补) k为何值时，关于x的方程
(5 2x)2 9(x 3)2
(x m)2 n(n 0)
x2 8x 1 0 x2 3x 1 0
放手，让学生自己做 允许，让学生犯错误 “理解配方法”
指导，规范源于需要x2 =4
4x2 -1=15
学生若感觉困难再举例引 (x-1)2 =4
导，建构解法之间的内在
联系
x-1=4
x2 -2x+1=4
A
A
B
B
C
C
D
D
…
…
盼望孩子们能主 动运用表格、图 示的方式分析研
究问题
x2 2x 4 0
x2-75x+350=0
x2 x 56 0
①
②
③
2x2=8
共同点？ x2- 4=0 ④
增
加 的
m的3倍的平方 与m的2倍相等.
9m2 – 2 m = 0 ⑤
问
4y2 与1的和等于
4y2 +1=（y+1)2- 2y
( 2 , -2 , 3 0 )
(-2 ,
3，0
,
2 9)
( 1 , -1 , 2 , 0 )
⑤ 2x2 +4 = 0
( 2 , -2 , -1 , 0 )
例2
1.若x=－2是方程x2 －2ax+8=0的一个根，
则a的值为 ;
会由方程的根
求方程中待定
2.若关于x的方程ax2+bx+c=0的一个系数根的是值１，
2x2 1 3x 3x2 6x 4 0 避免出现二次项系数 a2 x2
ax2 bx c 0a 0 转化
要注意
x2 b x c 0 aa
根 用配方法解下列关于x的一元二次方程.
据 学
1 x2 2x m 0m 1
生 情
x 12 m 1
况 可
2 x2 2mx m2 0m 0
教材教法建议---22.1一元二次方程（第一课时）
形成一元二次方程的概念有三种教学方式：
①一般到特殊（演绎思维）， 从方程概念演绎得出一元二次方程概念； ②特殊到特殊（类比思维）， 从一元一次方程或二元一次方程概念类比得出一元二次方 程概念； ③特殊到一般（归纳思维）， 若干现实问题→数学模型→概括得出一元二次方程概念.
解一元二次方程（因式分解法 ( x - 2) ( x + 28) = 0, ( x - 2) ( x - 28) = 0,
( x + 2) ( x - 28) = 0, ( x + 2) ( x + 28)= 0,
分析求解得出结论“如果AB = 0,得出A = 0或B = 0”. 到一般式ax2 + bx + c = 0 再到( x + b) 2 = 0, x ( x + b) = 0等特殊型,
填空练习
1 x2 x
1 4
x
1 2
2