立体几何割补法
立体几何中的割补法解题技巧
邹启文
※ 高考提示
立体几何中常用割补法解题.特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解,有时解起来
还比较容易.
※ 解题钥匙
例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1，O是底面ABCD11111111
的中心，则O到平面ACD的距离为( ) 11
2231A、 B、 C、 D、 4222
分析:求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O为AC的中点，故将要求的距离 11
与A到面ACD的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该 111
图中割出一个三棱锥A—ACD而进行解题。
111
解:连AC，可得到三棱锥A—ACD，我们把这个正方体的其 1111
它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。
这个三棱锥底面为直角边为1与的直 2角三角形。
这个三棱维又可视为三棱锥C—AAC，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角111 2形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B。
2
例2 (2007湖南高考，理8)棱长为1的正方体ABCD—ABCD1111 的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA、DD的中点， 11则直线EF被球O截得的线段长为( )
22A、 B、1 C、1+ D、 222
分析:在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，而又考虑到面AADD截得的球的截面为圆，且EF 11
在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。
解:如图，正方体ABCD—ABCD，依题O亦为此正方体的中心，补侧面 1111 可得圆锥0—AD(如下图)， AD为平面AD，球0截平面A D1111
其底面圆心正为线段AD之中点，亦为线段EF之中点，割去正方体和球 1 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD之长，故选D。
1
例3 (2005全国高考I，理5)如图，在多面体ABCDEF中,已知 ABCD是边长为
1的正方形，且?ADE、?BCF均为正三角形。
EF‖AB，EF=2，则多面体的体积为( )
2343A、 B、 C、 D、 3332
分析:显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们
在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故
在此可采用分割的方法。
将已知图形割为一个直棱柱与两个
全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。
解:如下图，过AD和BC做分别EF的直截面ADM及截面BCG，面ADM‖面BCG，31O为BC的中点，在?BCF中求得FO=，又可推得FG= ，又OG?EF， 22
22?GO= S= ?BCG24
22?V = 2V= BCG-ADMF-BCG412
222?V=+=，故选A。
ABCDEF4123
例4 (湖南高考，2007，理18)，如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD
的中点，G是EF上的一点，将?GAB、?GCD分别沿AB、CD翻折成?GAB，?GCD，并连结GG， 1212使得平面GAB?平面ABCD，GG?AD，且GG<AD，连结BG，如图3。
112122
(?)证明:平面GAB?平面GADG112
(?)当AB=12，BC=25，EG=8时，
求直线BG和平面GADG所成的角。
212
解: 仔细观察图形和对照已知条件，依题:面ABCD，
面ABG，面EFGG，面面互相垂直，通过补 121
形可知所得图形是长方体ABCD—ABCD中 1111
的一部分，如图4。
图4 (?)?GG?AD，AD?面GBA，GG面GADG 1211212,
? 结论成立。
(?)长方体的三共点棱AB=12,BC=25，BB=8，又可推得FG=17，GG=10，BG=10，12121BG=10，EG=8，又面BAG?面AGG，割去长方体的其它部分只看三棱维G—GAB，22111221如图5，作BH?AG于H，连GH， 12
可知?BGH为所求。
2
图5
11考虑?AB G的面积有: BH, ?12?8,?10?122
4848122, BH=，于是sinBGH= ?，22555?102
122故所求的角为arcsin 25
[规律小结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形。
割法是把复杂的或不熟悉的几何体，割分为简单的或熟悉的几何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是一个问题中的相反两个方面，是对立统一的一对矛盾。
解决一个问题，是割是补,这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲目行动，否则就会导致麻烦，使问题复杂化，使得其反，甚至问题还不能解决。
立体几何中需得三棱柱补成平行六面体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使用于立体几何，将上述概念中的几何体或图形改为代数式，那么在数学的其它方面使割补法也就很多了，比如运算中的添项减项，重新组合另行考虑，考虑问题的对立面等等均可视为割补法，因此，割补法不只是一种方法，可把它上升为一种思想——一种数学思想。
※ 同步训练
1、斜三棱柱的一个侧面面积是S，这个侧面与它的对棱的距离为h，求证其体积为
2、三棱维A—BCD的底面?BCD中，BD=CD=a，?CDB=90?。
又AB=a，AB?面BCD，则异面直线AD与BC间的距离为。
3、已线段AD、BD、CD两两互相垂直，且AD=，BD=5，CD=8，球面过A、B、
C、11
D四点，试求此球面面积
4、平行六面体ABCD—ABCD中，E是棱AB的中点，过B、D、E三点作平面截平111111
行六面体为两部分，求此两部分的体积的比。
f(2),f(4)？？f(2008),5、若f(a+b)=f(a).f(b),f(1)=2,化简 f(1),f(3)？？f(2007)
,,,356、求cos +cos + cos的值 777
7、已知定直线l及其外一点F，动点P到F的距离与到l的距离的比为e，当e割去1(即e-1)时点P的轨道必定存在，那么:
?原来点P的轨道是( )
A、椭圆
B、抛物线
C、双曲线
D、以上均不对
?现在点P的轨道是( )
A、椭圆
B、抛物线
C、双曲线
D、以上均不对
8、(2004全国高考?)，如图，直三棱柱
ABCD—ABCD中，?ACB=90?，AC=1， 1111
CB=，AA=1，侧面AABB的两对角线交点 2111
为D，BC的中点为M 11
DM; (1)求证:CD?平面B
(2)求面BBD与面CBD所成二面角的大小。
1
※ 参考答案:
11、 sh2
3a2、提示:以DC，BD，AB为棱长构造一正方体，连其相应对角线分别构造含3
两直线的平面，将线线距离转换成面面距离，再利用正方体对角线长得出答案。
3、400,
4、7:17 提示:设所作平面与直线AA交于A， 12
先考虑三棱维A—ABD与其中的一个小三棱维的体积。
211110045、2 提示:由已知有f(2)=4,分子里的数字都转换用f(2)表示，将分母中前后两端等距离的数字配对找与分母间的联系。
,176、提示:补cos，割-1或补1 27
7、D D 提示:(1)e-1后可能为0，而表示点。
(2)e-1后与1的大小不确定。
3,,arccos8、 (1)连BM，C B，易知C B?BC及C B?BD，又CD在底面1 1 1 1 3
的摄影在C B上，? 易知CD?平面BDM 1
(2)将棱锥D-B BC旋转成棱锥B-BDC，补平面BDC，过B做面111
BDC的垂线，垂足为O，利用投影面积公式求出面BDO与面BBD1
所成的二面角，进而得到要求角。