立体几何中的割补法解题技巧
※ 解题钥匙
例1 (2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AC 1D 1的距离为（ ） A 、21 B 、42 C 、22 D 、2
3 分析：求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局
限性显然不太好做垂线，考虑O 为A 1C 1的中点，故将要求的距离
与A 1到面AC 1D 1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该
图中割出一个三棱锥A 1—AC 1D 1而进行解题。
解：连AC 1，可得到三棱锥A 1—AC 1D 1，我们把这个正方体的其
它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为
这个三棱锥的高的一半。
这个三棱锥底面为直角边为1与2的直
角三角形。
这个三棱维又可视为三棱锥C 1—AA 1C 1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为2
2，故应选B 。
例2 （2007湖南高考，理8）棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，
则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A 、22
B 、1
C 、1+2
2 D 、2 分析：在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得
复杂而烦琐，而又考虑到面A 1ADD 1截得的球的截面为圆，且EF
在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。
解：如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，依题O 亦为此正方体的中心，补侧面 AD 1为平面AD 1，球0截平面A D 1可得圆锥0—AD 1（如下图），
其底面圆心正为线段AD 1之中点，亦为线段EF 之中点，割去正方体和球 的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O 截直线EF 所得线段
长就等于这个圆锥底面圆的直径AD 1之长，故选D 。
例3 （2005全国高考I ，理5）如图，在多面体ABCDEF 中,已知
ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形。
EF ‖AB ，EF=2，则多面体的体积为（ ）
A 、32
B 、33
C 、34
D 、2
3 分析：显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们
在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故
在此可采用分割的方法。
将已知图形割为一个直棱柱与两个
全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。
解：如下图，过AD 和BC 做分别EF 的直截面ADM 及截面BCG ，面ADM ‖面BCG ，
O 为BC 的中点，在△BCF 中求得FO=23，又可推得FG= 21，又OG ⊥EF ， ∴GO=
22 S △BCG =4
2 ∴V BCG-ADM = 42 2V F-BCG =12
2 ∴V ABCDEF =42+122=32，故选A 。
例4 （湖南高考，2007，理18），如图2，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、CD 的中点，G 是EF 上的一点，将△GAB 、△GCD 分别沿AB 、CD 翻折成△G 1AB ，△G 2CD ，并连结G 1G 2， 使得平面G 1AB ⊥平面ABCD ，G 1G 2∥AD ，且G 1G 2<AD ，连结BG 2，如图3。
（Ⅰ）证明:平面G 1AB ⊥平面G 1ADG 2
（Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，
求直线BG 2和平面G 1ADG 2所成的角。
解： 仔细观察图形和对照已知条件，依题：面ABCD ，
面ABG 1，面EFG 2G 1，面面互相垂直，通过补
形可知所得图形是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中
的一部分，如图4。
图4
（Ⅰ）∵G 1G 2∥AD ，AD ⊥面G 1BA ，G 1G 2⊂面G 1ADG 2
∴ 结论成立。
（Ⅱ）长方体的三共点棱AB=12,BC=25，BB 1=8，又可推得FG 2=17，G 1G 2=10，BG 1=10，BG 2=102，EG 1=8，又面BAG 1⊥面AG 1G 2，割去长方体的其它部分只看三棱维G 2—G 1AB ，如图5，作BH ⊥AG 1于H ，连G 2H ，
可知∠BG 2H 为所求。
图5
考虑△AB G 1的面积有： ·10·2
18·12·21=BH,
∴ BH=548，于是sin ∠BG 2H==2
10·54825212 故所求的角为arcsin
25212
[规律小结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。
补法是把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图 形。
割法是把复杂的或不熟悉的几何体，割分为简单的或熟悉的几何体。
这样对此解起题来就有好处。
割补法中的割与补是一个问题中的相反两个方面，是对立统一的一对矛盾。
解决一个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲目行动，否则就会导致麻烦，使问题复杂化，使得其反，甚至问题还不能解决。
立体几何中需得三棱柱补成平行六面体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使用于立体几何，将上述概念中的几何体或图形改为代数式，那么在数学的其它方面使割补法也就很多了，比如运算中的添项减项，重新组合另行考虑，考虑问题的对立面等等均可视为割补法，因此，割补法不只是一种方法，可把它上升为一种思想——一种数学思想。
※ 同步训练
1、斜三棱柱的一个侧面面积是S ，这个侧面与它的对棱的距离为h ，求证其体积为
2、三棱维A —BCD 的底面△BCD 中，BD=CD=a ，∠CDB=90°。
又AB=a ，AB ⊥面BCD ，则异面直线AD 与BC 间的距离为 。
※ 参考答案：
1、sh 2
1 2、a 33 提示：以DC ，BD ，AB 为棱长构造一正方体，连其相应对角线分别构造含
两直线的平面，将线线距离转换成面面距离，再利用正方体对角线长得出答
案。
3、π400
4、7:17 提示：设所作平面与直线AA 1交于A 2，
先考虑三棱维A 2—A 1B 1D 1与其中的一个小三棱维的体积。
5、21004 提示：由已知有f(2)=4,分子里的数字都转换用f(2)表示，将分母中前后两端等
距离的数字配对找与分母间的联系。
6、2
1 提示：补cos 77π，割-1或补1 7、D D
提示：（1）e-1后可能为0，而表示点。
（2）e-1后与1的大小不确定。
8、3
3arccos -π （1）连BM ，C B 1 ，易知C B 1 ⊥BC 1及 C B 1 ⊥BD ，又CD 在底面的摄影在C B 1上，∴ 易知CD ⊥平面BDM
（2）将棱锥D-B B 1C 旋转成棱锥B 1-BDC ，补平面BDC ，过B 1做面
BDC的垂线，垂足为O，利用投影面积公式求出面BDO与面B1BD 所成的二面角，进而得到要求角。