考点71 平面向量的数量积运算1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单【参考答案】12【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE BC CE AD AB =+=-，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）jxq592.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________.【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t =【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b 2112π2611cos2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 4．(13福建T7)在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）AB． C ．5 D ．10 【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD.（步骤1）又|AC ||BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC||BD |＝5.（步骤2）5.（13陕西T3）设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）6．（13浙江T17）设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【难易程度】较难【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4）7.（13山东T15）已知向量 AB 与 AC 的夹角为120，且3,2.== AB AC 若λ=+ AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】712【试题解析】∵AP ＝AB λ ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB) (AC＋AB λ )＝0.∴AC 2＋AB λ AC －AB AC －AB λ 2＝0，即4＋(λ－1)×32⨯×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712. 8．（12浙江T15）在ABC △中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC＝______________．Yxj 63【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】16-【试题解析】设AMB θ∠=,则,AMC θ∠=π-又,AB MB MA =- ,AC MC MA =-(步骤1)2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ∴=--=--+ ，2553cos 35cos(θθ=--⨯-⨯π-)+9=-16故答案为16-.（步骤2）9.（12重庆T6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)x y ===-a b c 且,⊥a c b c ，则+=a b( )C. D.10【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】,240,2,x x ⊥∴=-==a c a c （步骤1） ,1(4)2,2,y y ∴⨯-==- cb （步骤2）(3,1),∴+=-∴+=a b a b （步骤3）10.(12新课标T13)已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a -b 则|b |= . 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意得，222224444cos 45-=-+=-+a b a a b b a b b ，则244cos 4510-+=⇒=a b b b 11.（11辽宁T10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0= a b ，()()0-- …a c b c ，则||+-a b c 的最大值为 ( )A.12-B.1C.2D.2【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵2()()0()0--⇒-++ 剟a c b c a b c a b c又∵,,a b c 为单位向量，且 a b =0，∴()1+ …c a b ，（步骤1）而222222()+-=+++-+a b c a b c a b c a b =32()321-+-= …c a b . ∴+-a b c 的最大值为1．（步骤2）12.（11江苏T10）已知12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量，12122k =-=+，，a e e b e e 若0= a b ，则k 的值为【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】54【试题解析】解：∵12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量 ∴1212=-e e （步骤1） ∴1212(2)()k =-+ a b e e e e=2211212222k k -+- e e e e e e =522k -（步骤2） ∵0= a b ∴5202k -=（步骤3）解得54k =故答案为：54（步骤4）13．（11广东T3）若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b= （ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 14.（11重庆T12）已知单位向量i j e ,e 的夹角为60，则2_____i j -=e e ．【测量目标】平面向量数量积. 【难易程度】容易.【试题解析】22i j -e e =2(2)i j -e e=2244i i j j -+e e e e =54cos60-=3∴2i j -=e e 15.(11新课标T10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题是（ ）12:10,3p θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3p θπ⎛⎤+>⇔∈π ⎥⎝⎦a b3:10,3p θπ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3p θπ⎛⎤->⇔∈π ⎥⎝⎦a bA.14,p pB.13,p pC.23,p pD.24,p p【测量目标】不等式比较大小及平面向量的数量积运算.【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】1+==>a b 得， 1cos 2θ>-，2π0,3θ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭，（步骤1）由1-==a b 得1cos 2θ<π,π3θ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦， 选A （步骤2）16．(10重庆T2)已知向量a ，b 满足 a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0C. 4D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】2-=a b ===17.(10安徽T3)设向量11(1,0),(,)22==a b ，则下列结论中正确的是 （ ）A.||||=a bB.=a b C.-与a b b 垂直 D.a b【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】 由于a =（1，0），b =（21，21），那么|a |=1，|b |=22，选项A 错；（步骤1） a •b =1×21+0×21=21，选项B 错；（步骤2） （a －b ）•b =（21，－21）•（21，21）=21×21－21×21=0，即a －b 与b 垂直，选项C 正确；（步骤3）112≠210，选项D 错.（步骤4） 18.(10广东T10)若向量()1,1,x =a ,()1,2,1=b ，()1,1,1=c ,满足条件()()22-=-c a b g ,则x = .【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】()0,0,1x -=-c a ，()()()()()220,0,11,2,1212x x -=-=-=-c a b g g 解得2x =．19．（09福建T9）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，⊥ac ，=a c ，则 b c 的值一定等于 ( )A ．以a ，b 为两边的三角形面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角形面积． 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依题意可得cos(,)sin(,)S === b c b c b c b a a c ，故选C ． 20.（09广东T16）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π(0,)2θ∈． （1）求sin θ和cos θ的值； （2）若πsin()102θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 【测量目标】平面向量的数量积运算和两角和与差的余弦.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵ 向量()sin ,2θ=-a 与()1cos θ，b =互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-= a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ ②① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2） 由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ.故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-< （步骤5）则()cos θϕ-=（步骤6）()()()cos cos cos cos sin sin ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7）21.（09江苏T2）已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积= a b .【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】23== a b . 22．（09江苏T15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【测量目标】向量的数量积运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-= a b c a b a c ，（步骤1）即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2）（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4）所以||+b c 的最大值为（步骤5）（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-= （步骤7） 所以a ∥b .（步骤8）23.（09全国Ⅰ T6）设a 、b 、c 是单位向量，且0=a b ，则()()-- a c b c 的最小值为（ ）A.2- 2 C.1- D.1【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】,, a b c 是单位向量()()()2∴--=-++ a c b c a b a b c c ()11,1=-+=-<+>- …a b c a b c 故选D.24.（09辽宁T3）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b ( )B. C. 4 D. 12 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos 60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a ab a a b b ,∴2+=a b25.（09全国Ⅱ T6） 已知向量()2,1,10,||=∙=+=a a b a b 则||=b （ ）A.B.C.5D. 25【测量目标】平面向量的数量积运算.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】222250||||2||520||=+=++=++ a b a a b b b ，||5∴=b .故选C.26．（09重庆T7）设ABC △的三个内角,,A B C ，向量,sin )A B =m ，(cos )B A =n ，若1cos()A B =++ m n ，则C =（ ）A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π6【测量目标】平面向量的数量积运算、两角和与差的正弦．【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】cos sin )1cos()A B A B A B A B ==+=++m n g g g ，πA B C ++=1cos C C =-cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．。