02 中档题
10．(2019·驻马店平舆县期末)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF．若 EF ＝3，BD＝8，则菱形 ABCD 的周长为(B )
A．14 B．20 C．22 D．28
11．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱 形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为(D )
解：∵四边形 ABCD 是菱形，BD＝4， ∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD＝2，AC⊥BD． ∵在 Rt△OCD 中，∠OCD＝30°， ∴CD＝2OD＝4，OC＝ CD2－OD2＝2 3． ∴AC＝2OC＝4 3． ∴S 菱形 ABCD＝12AC·BD＝21×4 3×4＝8 3．
易错点 点的位置不确定导致漏解 9．四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上．若 OE＝ 3，则 CE 的长为 4 3或 2 3 ．
14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E．
(1)求证：四边形 ACDE 是平行四边形； (2)若 AC＝8，BD＝6，求△ADE 的周长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD． ∴AE∥CD． 又∵DE⊥BD， ∴DE∥AC． 又∵AE∥CD， ∴四边形 ACDE 是平行四边形．
3．(2019·贵阳)如图，菱形 ABCD 的周长是 4 cm，∠ABC＝60°， 那么这个菱形的对角线 AC 的长是( A )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长
为 2，则该菱形较长的一条对角线的长为(C )
证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)． ∴AE＝AF．
知识点 2 菱形的面积 7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是 6 cm 和 8 cm，则其 面积为 24 cm2．
8．(教材 P56 例 3 变式)如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形 ABCD 的面积．
(2)∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝ AO2＋DO2＝5． ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8． ∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18．
03 综合题
15．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上．
(1)求证：AE＝BF； (2)若点 E 恰好是 AD 的中点，AB＝2，求 BD 的值．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC． ∴∠A＝∠CBF． ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°． ∴△AEB≌△BFC(AAS)． ∴AE＝BF．
(2)∵点 E 是 AD 的中点，且 BE⊥AD， ∴直线 BE 为 AD 的垂直平分线． ∴BD＝AB＝2．
(1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
解：(1)证明：∵四边形 EFGH 是矩形， ∴FG＝EH，EH∥FG． ∴∠GFH＝∠EHF． ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE． ∵四边形 ABCD 是菱形，
A．22019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC，BD 相 交于点 O，E 是 CD 的中点，则 OE 的长是(A )
A．2．5 B．3 C．4 D．5
6．(2019·衢州)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 BE＝DF，连接 AE，AF．求证：AE＝AF．
∴AD∥BC． ∴∠GBF＝∠EDH． ∴△BGF≌△DEH(AAS)． ∴BG＝DE．
(2)连接 EG． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵E 为 AD 中点， ∴AE＝ED． ∵BG＝DE， ∴AE＝BG，AE∥BG．
∴四边形 ABGE 是平行四边形． ∴AB＝EG． ∵在矩形 EFGH 中，EG＝FH＝2， ∴AB＝2． ∴菱形 ABCD 的周长为 8．
数学 第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形
18．2．2 菱形
第1课时 菱形的性质
01 基础题
知识点 1 菱形的性质
1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2．(2019·河北)如图，在菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝(D ) A．30° B．25° C．20° D．15°
解：∵S 四边形 ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝12AC·OD＋12AC·BO＝21AC·(OD ＋OB)＝12AC·BD，
∴S 四边形 ABCD＝21×20×15＝150．
结论：对角线互相垂直的四边形的面积等 于 两条对角线乘积的一半．
16．(2019·河南二模)如图，四边形 ABCD 是菱形，∠DAB＝50°， 对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH，则∠DHO ＝ 25 度．
对角线互相垂直的四边形的面积 我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果 是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？ 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，其中对角线 BD 长为 15，AC 长为 20，垂足为 O，求四边形 ABCD 的面积．(请写 出求解过程)
A．(2， 3) B．( 3，2) C．( 3，3) D．(3， 3)
12．(2019·广西)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点
O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，已知 BO＝4，S 菱形 ABCD＝24，则 AH 24
＝ 5．
13．(2019·百色)如图，在菱形 ABCD 中，作 BE⊥AD，CF⊥AB， 分别交 AD，AB 的延长线于点 E，F．