上海市曹杨二中2018-2019学年高二上学期期末数
学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；
2. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
3. 若正方体中，异面直线和所成角的大小为
_____；
4. 若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；
5. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；
6. 若增广矩阵对应的线性方程组为无穷多解，则实数的值为
________；
7. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则_________.
8. 已知，用斜二测画法作它的直观图，若是斜边平行于铀的等腰直角三角形，则是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.
9. 在北纬45°圈上有甲.乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________；
10. 如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积
为_______；
11. 已知平面截一球面得圆，过圆心且与平面呈45°二面角的平面
截该球面得圆，若球的半径为4，圆的面积为12，则圆的面积为__________；
12. 如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平
面的同侧，如顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离为___________；
二、单选题
13. “直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14. 如果三棱锥的底面不是等边三角形，两组对棱互相垂直，且顶点在底面的射影在内，那么是的（）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
15. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）
A．一定是正三棱锥B．一定是正四面体C．不是斜三棱锥D．可能是斜三棱锥三、解答题
16. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角大小.
17. 如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）．
（1）这种蛋筒的表面积；
（2）若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到0.1L）
18. 如图，已知为四面体内一点，且满足：点与四面体任一顶点的连线均垂直其余三个顶点所确定的平面，设.
（1）求证：；
（2）若，求证：，为正四面体，并求直线与平面所成角的大小.
19. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，
，，，且点和分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
20. 如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对：“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱，圆柱的表面积与高分别记为
与.
（1）若，求的值.
（2）若，求证：；
（3）求实数的取值范围，使得存在一对“等积四棱圆柱”，满足与。