上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期开学摸底考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线210x y -+=的一个法向量为______.2．直线350x --=的倾斜角大小为___________.3．直线20x ++=与直线10x +=的夹角为______.4．一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为___________.5．若点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，则a =__________．6．过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________. 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．已知直线l ：2y ax =+和()1,4A 、()3,1B 两点，若直线l 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围为______.9．已知()2,3A 、()4,8B -两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线的方程为______.10．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.11．若直线l 与直线1y =和70x y --=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点为()1,1P -，则直线l 的斜率等于__________．12．已知正三角形的三个顶点()()(0020,A B C ，，，，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 近上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P .若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为____________.二、单选题13．如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（ ）A ．曲线C 的方程为(),0F x y =B ．(),0F x y =的曲线是CC ．以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D ．曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上14．若圆C ：()()222x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）A ．有一个B ．有两个C ．有三个D ．有四个15．两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．不确定16．若()2,3P 既是()11,A a b 、()22,B a b 的中点，又是直线1l ：11130a x b y +-=与直线2l ：22130a x b y +-=的交点，则线段AB 的中垂线方程是（ ）A ．23130x y +-=B ．32120x y +-=C ．320x y -=D ．2350x y -+=三、解答题17．讨论两直线1l ：1mx y +=-和2l ：323mx my m -=+之间的位置关系.18．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 19．已知定点()2,0A -、()2,0B ，动点C 在线段AB 上，且PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形（P 、Q 均在x 轴上方）.（1）R 是线段PQ 的中点，求点R 的轨迹；（2）求ARB ∠的取值范围.20．过点()2,1P -的直线l 分别交()102y x x =≥与()20y x x =-≥于A 、B 两点. （1）设A 点的坐标为()2,a a ，用实数a 表示B 点的坐标，并求实数a 的取值范围；（2）设AOB ∆的面积为245，求直线l 的方程； （3）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.参考答案1．()2,1-【分析】先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.【详解】直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.故填：()2,1-.【点睛】本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.2．3π 【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.【详解】由350x -=得3y =-，所以直线的斜率k =α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π. 故填：3π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题. 3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为-150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．2114170x y -+=【分析】设出过两直线的交点的直线系方程(23)(31)0x y x y λ+-+-+=，由直线垂直的判定条件得到关于λ的方程，解之再代入即得所求的直线方程.【详解】设过230x y +-=与310x y -+=的交点的直线方程为：(23)(31)0x y x y λ+-+-+=， 因为此直线与直线2350x y +-=垂直，所以()()132230λλ+⋅+-⋅=，解得83λ=-， 所以这条直线方程为：8(23)(31)03x y x y +---+=，即2114170x y -+=. 故填：2114170x y -+=.【点睛】本题考查过两直线的交点的直线系方程和两直线垂直的判定条件，属于基础题.5．0或10【解析】【分析】根据题意以及点到直线的距离公式得到15335a -==，化简，解出方程即可. 【详解】因为点()4,A a 到直线4310x y --=的距离等于3，所以15335a -==，解得0a =或10a =.故答案为：0或10.本题考查了点到直线的距离公式的应用，较为基础.6．22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0, 此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d , 则2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知得AB ==要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB， 圆的方程是22231222x y ⎛⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故填：22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题. 7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】求得直线所过定点C ，结合,AC BC 的斜率和图像，求得实数a 的取值范围.【详解】依题意可知，直线l 过定点()0,2C ，画出图像如下图所示，由图可知[],BC AC a k k ∈，其中21124,203301BC AC k k --==-==--，所以a 的取值范围是1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故填：1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查直线斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．1120x y +=或560x y +=【分析】分成两种情况：一个是直线l 过原点和线段AB 的中点，一个是直线l 过原点且与直线AB 平行，分别求得直线l 的方程.【详解】当直线l 过原点和线段AB 的中点时，线段AB 的中点为111,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线l 的方程为112y x =-，即1120x y +=. 当是直线l 过原点且与直线AB 平行时，直线AB 的斜率为835426-=---，故直线l 的方程为56y x =-，即560x y +=. 故填：1120x y +=或560x y +=.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查两条直线平行的条件，考查中点坐标公式，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.10．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．23- 【分析】设M （,1a ），N （,7b b -），根据中点公式，求得a ，b 的值，进而根据斜率公式求得直线斜率.【详解】设M （,1a ），N （,7b b -） ，已知MN 的中点为()1,1P -， 则121712a b b +⎧=⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ，解得2,4a b =-= ，即M （-2,1），N （4，-3）， 则直线l 的斜率等于1(3)2243--=--- 故填:23-.【点睛】本题考查了求直线的交点，考查了直线斜率的求法，灵活运用中点坐标公式求值，可简化运算.12．2⎛ ⎝【分析】设1BP x =，则求得x =，再根据反射的条件：入射角等于反射角可得：12102,3CPP BPP πθ∠=∠=-2123,CP P AP P θ∠=∠=在12CPP ∆和32AP P ∆中运用正弦定理表示3AP ，由302,AP <≤可求得tan θ的取值范围. 【详解】根据题意做出示意如下图所示：设1BP x =，则2tan 12x x θ=⇒=-，根据反射的条件：入射角等于反射角可以得：121021232,,3CPP BPP CP P AP P πθθ∠=∠=-∠=∠=在12CPP ∆中由正弦定理得222sin 23(2),2sin sin sin 3CP x CP x πθπθθθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⇒=⋅-⎛⎫- ⎪⎝⎭而sin 2sin 3θπθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2CP =222AP CP -==在32AP P ∆中由正弦定理得3223sin 22sin sin sin 33AP AP AP AP θππθθθ⋅=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322tan AP θ=322tan 02,2,0AP θ<≤≤<解得tan ,2θ⎛∈⎝，故填：2⎛ ⎝【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题. 13．D 【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项. 【详解】依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题. 14．B 【分析】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项. 【详解】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l ，也,2,2a a ===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题. 15．A 【解析】因为θ为第三象限角，所以1sin 10sin sin sin sin θθθθθ⨯+=+=-=， 所以两直线垂直.故选A.点睛：.两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：12120A A B B +=；平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！ 16．C 【分析】将P 点坐标代入12,l l 的方程，由此求得直线AB 的斜率，进而求得线段AB 中垂线的斜率，根据点斜式求得线段AB 的中垂线方程. 【详解】将P 点坐标代入12,l l 的方程得1123130a b +-=，2223130a b +-=，所以,A B 两点在直线2313x y +-上，故23AB k =-，所以线段AB 的中垂线的斜率为32，依题意AB 中点为()2,3P ，所以线段AB 的中垂线方程是()3322y x -=-，即320x y -=.故选C. 【点睛】本小题主要考查点和直线的位置关系，考查线段垂直平分线方程的求法，属于基础题. 17．3m =-时，两直线重合；当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【分析】根据两条直线重合、平行、相交、垂直的条件，判断两直线的位置关系. 【详解】两条直线化为一般式得12:10,:3230l mx y l mx my m ++=---=. 显然0m ≠. 由13m m m =-，得3m =-时，此时， 11323m m m m ==---所以两直线重合. 两直线不平行.当0m ≠且3m ≠-时两直线相交. 【点睛】本小题主要考查两条直线的位置关系，属于基础题.两条直线的位置关系有：重合、平行、相交、垂直等.18．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.19．（1）y =()1,1x ∈-；（2）1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设出C 点坐标，根据等边三角形的性质求得,P Q 两点的坐标，根据中点坐标公式求得R 点的轨迹方程.（2）利用余弦定理求得cos ARB ∠的表达式，由此求得cos ARB ∠的取值范围，进而求得ARB ∠的取值范围.【详解】（1）设()00,C x y ，则022x -≤≤，如图，则002,2CA x BC x =+=-，因为PAC ∆、QBC ∆均为等边三角形，所以))00002222,,,2222x x x x P Q ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为R 是线段PQ 的中点，设R 为(),x y ，则000222222x x x x -+=+=，))0022222x x y +-=+=R的轨迹为[]1,1y x =∈-.（2）设([],1,1R x x ∈-，则()()222223,23AR x BR x =++=-+，由余弦定理得cos ARB ∠2222AR BR AB AR BR+-=⋅212=2=①.当1x =±时，①式为πcos 0,2ARB ARB ∠=∠=. 当11x -<<时，()222110,011x x -≤-<<-≤，①式为cos ARB∠=，注意到由于()22011x <-≤，所以()22481491x+≥-，所以cos ARB∠1,07⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭.综上所述，1cos ,07ARB ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，故ARB ∠的取值范围是1,cos 27arc ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查反三角函数，属于中档题.20．（1）48,5353aa a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，35a >；（2）11122y x =-；（3）37y x =- 【分析】（1）设出B 点坐标，利用B 在射线()20y x x =-≥上以及BP PA λ=列方程组，解方程求得B 点坐标.（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式列方程，解方程求得a 的值，进而求得直线l 的方程.（3）结合（1）的结论，求得PA PB ⋅的表达式，进而求得PA PB ⋅最小时a 的值，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),B m n ，由于B 在射线()20y x x =-≥上，则2n m =-①.()()2,1,22,1BP m n PA a a =---=-+，由于,,A P B 三点共线，BP PA λ=，则()()()()21122m a n a -⋅+=--⋅-②，解由①②组成的方程组得48,5353a am n a a -==--，所以B 点坐标为48,5353aa a a -⎛⎫⎪--⎝⎭.由于,A B 两点不重合，故0a >，且A 在第一象限，B 在第四象限.故405380530aa aa a ⎧>⎪-⎪-⎪<⎨-⎪>⎪⎪⎩，解得35a >. （2）由于()1212⨯-=-，所以OA OB ⊥，结合（1）得()482,,,5353a a A a a B a a -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以12OABS OA OB ∆=⋅⋅12425==，化简得()26560,5a a -==，所以126,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为612556121255y x --=---，化简得11122y x =-. （3）由（1）得()482,,,5353aa A a a B a a -⎛⎫⎪--⎝⎭，35a >，而()2,1P -，所以 PA PB ⋅=2565353a a a -+=⋅-()1615353553a a ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2435≥⋅=，当且仅当()161553553a a -=-，即75a =时等号成立.此时147,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线方程两点式得直线l 的方程为714557141255y x --=---，化简得37y x =-.【点睛】本小题主要考查直线和直线相交交点坐标的求法，考查三角形面积公式，考查最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。