•PC=4.:■:
又•••PC?PD=PB?PA
•PA=4也就是半径OB=4在RT^ACB中,
AC=.汗-.「A'-_-=2!■：,
•/AB是直径，
•••/ ADBMACB=90
•••/ FDA+Z BDC=90
/CBA+/ CAB=90
•••/ BDC/CAB
•/FDA/CBA
又•••/AFD/ACB=90
•匹鸟
•CEDC，
△CD0ACAD
•/CDBNDBC
•••四边形ABCD内接于OO,
•BC=CD
(2)解：如图，连接OC
•/BC=CD
•••/ DACMCAB又•••AO=CO
•••/ CABMACO
•••/ DACMACO
•AD// OC
•_l = N
PD PA
••• PB=OB CD=-：,
PC+2J2 3
(2)连接OC先证AD//OC由平行线分线段成比例性质定理求得PC=QE，再由割线定理
PC?PD=PB?P求得半径为4,根据勾股定理求得AC=.,再证明△ACB得
AF_AC_2VjJr-，则可设fd=x,AF祈X,在Rt△AFP中，求得DF一匕.
FDCB2^24
【解答］:(1)证明：••• DC2=CE?CA
【题2］(2018?泸州24题)如图，四边形ABCD内接于OO, AB是OO的直径，AC和BD相交于点E,且dC=CE?CA
(1)求证：BC=CD
(2) 分别延长AB, DC交于点P,过点A作AFLCD交CD的延长线于点
【考点］:相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理•菁优
【分析］:(1)求出△CD0ACAD/CDBNDBC得出结论.
①当OP与OO外切时，
如图3,连接op贝y0P=1+t,过点P作PHLOE垂足为
•••/PHEMHEGMPGE=90,
•••四边形PHEG是矩形，
••• HE=PG PH=CE
在Rt△OPH中，
由勾股定理，〔1-幺)+(2-2 )乞仃+t)255
解得t=二.
3
②当OP与OO内切时， 如图4,连接OP贝yOP=t-1,过点O作OMLPG垂足为M.
•••/ MGENOEGMOMG=90,
•四边形OEGMI矩形，•MG=QE OM=EG
•PM=PG MG=t-1，
5
在Rt△OPM中,
由勾股定理，丄：*J — t I-，解得t=2.
55
综上所述，OP与OO相切时，t=2s或t=2s.
3
【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查 点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目.
2019
2019年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三 角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等•数学思想涉及：
数形结合；分类讨论；化归；方程•现选取部分省市的2019年中考题展示，以飨读者•
【题1】(2019年江苏南京,26题)如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,AC=4cm BC=3cmOOABC的内切圆.
•△AFD^AACB
在Rt△AFP中，设FD=x贝U AF= I，:,•••在APF中有，
求得DF=二.
【点评】：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是
找准对应的角和边求解.
【题3】（2018?济宁21题）阅读材料：
已知，如图（1）,在面积为S的厶ABC中，BC=a AC=b AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA OB OC△ABC被划分为三个小三角形.
a+b4c
（1） 类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2））各边长分别为AB=a, BC=b, CD=c AD=d求四边形的内切圆半径r;
（2） 理解应用：如图（3）,在等腰梯形ABCD中 ,AB// DC AB=21,CD=11, AD=13OO1与OO2分别为△ABD与
r!
△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和「2,求一的值.
r2
B
⑴
【考点】
【分析】
:圆的综合题.
:(1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接OAOB OCOD则四边形被分为四个小三角形，且
每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似•仿照证明过程，r易得.
(2) (1)中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果•但求内切圆半径需首先知道
菁优
三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则ri、“、
—-易得.
r2
【解答】
:（1）如图2,连接OA OB OC OD
■/S=SaAOB+SaBO（+SaCO[+SaAOD^旺+丄匚（过+b +寸d）
+1
【点评】
…r=
2S
a+b+c+d
(2)如图3,过点D作DEIAB于E, •••梯形ABCD为等腰梯形，
(1)求00的半径；
(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以
(2)考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切•所以我们要分别讨论，当外切时，圆心 距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差•分别作垂线构造直角三角形，类似( 过表示边长之间的关系列方程，易得t的值.
【解】：(1)如图1，设OO与AB BC CA的切点分别为
贝UAD=AF BD=BE CE=CF
TOOABC的内切圆，
•OFLAC OEL BC即/OFCMOEC=90.•••/ Nhomakorabea=90,
•四边形CEOF是矩形，
•/OE=OF
•四边形CEOF是正方形.
设OO的半径为rcm，贝UFC=EC=OE=rcm在Rt△ABC中,MACB=90,AC=4cm BC=3cm
二AE=（朋-CD）（21—11）=5,
••• EB=AB- AE=21-在Rt△AED中，
•/AD=13 AE=5,
•DE=12
5=16•
•db=7de2+eb^
•AB==5cm
•/AD=AF=AC FC=4-r,BD=BE=BC EC=3-r,
•4-r+3-r=5,解得r=1，即OO的半径为1cm.
(2)如图2,过点P作PGLBC垂直为G.
•••/ PGBMC=90, •PG/ AC
•△PBG^AABC•
••• PG—, 9-.
若OP与OO相切，则可分为两种情况，OP与OO外切,