《数学建模方法》期末考试试卷一、某工厂要安排A 、B 、C 三种产品生产，生产这些产品均需要三种主要资源：技术服务、劳动力和行政经管。

每件产品所需资源数、资源限量以及每单位产品利润如下表。

试确定这三种产品的产量使总利润最大，建立线性规划问题的数学⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=0,0,06054390536..423max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x S 三、上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。

其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。

根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,x x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤+++≤++++++=0,,,300048462000552424005284480..81169max 432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 利用LINGO8.0软件进行求解，得求解结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 4450.000Variable Value Reduced CostX1 400.0000 0.000000X2 0.000000 0.5000000X3 70.00000 0.000000X4 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 4450.000 1.0000002 0.000000 2.5000003 610.0000 0.0000004 0.000000 0.50000005 0.000000 0.7500000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解，解释对偶问题最优解的经济意义；（3）灵敏度分析结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 9.000000 0.5000000 0.1666667X2 6.000000 0.5000000 INFINITYX3 11.00000 0.3333333 1.000000X4 8.000000 1.000000 1.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 20.00000 80.000003 2400.000 INFINITY 610.00004 2000.000 400.0000 20.000005 3000.000 40.00000 280.0000对灵敏度分析结果进行分析四、一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。

若每个推销员只能去一个地区，每一个（1五、（1）叙述层次分析法的步骤；（2）给定最佳旅游地选择问题的递阶层次结构准则层（景色、费用、饮食、居住、旅途）对目标层的比较判断矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1235/13/12/1127/15/13/12/117/15/1577123552/11A ，0976.5max =λ，对应的归一化的特征向量T W )1157.0,0685.0,0485.0,4809.0,2863.0()2(=,对于5阶矩阵随机一致性指标12.1=RI方案层(旅游地)对准则层的每一准则比较判断矩阵分别为：58.0,2970.05396.01634.0,0092.3,12/122132/13/11(1max 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ景色）；58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（费用）； 58.0,1515.02184.06301.0,1078.3,12/13/1214/13413max 3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（饮食）； 58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max 4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B λ（居住）； 58.0,1364.02790.05396.0,0092.3,12/13/1212/13212max 5=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=RI P B （旅途） (1)求方案层对目标层的权重（2）进行总排序的一致性检验。

最佳旅游地景色 费用 饮食 居住旅途苏杭 黄山 庐山六、微分方程建模：已知容器内盛有1000升的盐水，含10公斤盐，如果以每分钟3升的均匀速度向容器内注入淡水，瞬间搅拌后又以每分钟2升的均匀速度将盐水抽出，则一小时后容器内的含盐量是多少？ 七、求解模糊线性规划：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++≤++++=0,,10230360223..254max 321~32~321~321321x x x x x x x x x x x t s x x x S 对应的约束条件伸缩指标分别取2,6,4321===d d d 其求解步骤为：先求解线性规划问题：得解：0,5,325x 321===x x ；最优值：3175其次求解线性规划问题：得解：0,6,10x 321===x x ；最优值：70 最后求解线性规划问题：《数学建模方法》期末考试试卷参考答案一、设该厂计划A 、B 、C 三种产品的数量分别为321,,x x x 单位，则可建立线性规划数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++≤++++=0,0,03006226005410100.4610max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x S 用LINGO 求解的程序为： Max=10*x1+6*x2+4*x3。

x1+x2+x3<=100。

10*x1+4*x2+5*x3<=600。

2*x1+2*x2+6*x3<=300。

二、解：引进松弛变量54,x x 化成规范型⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++++=0,0,0,0,06054390536..423max 5432153214321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x S 由于有明显的可行基),(P P B =，直接用单纯性方法计算3x 进基变量，出基变量，换基迭代：1x 进基变量，出基变量，换基迭代：54max ,054321=S 。

三、最优解：4450m ax ,10,70,0,4004321=====Z x x x x即：生产A 产品400单位，不生产B 产品，生产C 产品70单位，山产D 产品10单位，可使总利润达到最大，最大利润为4450元。

（2）其对偶线性规划问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥+++≥++++++=0,,,1185264289644..300020002400480min 43214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y W 对偶问题的最优解为：75.0,5.0,0,5.24321====y y y y ，4450min =W （3）75.0,5.0,0,5.24321====y y y y 分别代表冲压、成形、装配和喷漆4种工艺的影子价格。

在其他条件不变的情况下，使影子价格不变的资源的变化范围分别为：冲压[480-80,480+20]=[400,500]；成形[2400-610,2400+∞]=[1790, +∞]；装配[2000-20,2000+400]=[1980,2400]；喷漆[3000-280,3000+40]=[2720,3040]。

在其他条件不变的情况下，当A 、B 、C 、D 的单位利润变化范围分别为：A 产品[9-1/6,9+0.5]=[53/9,9.5]；B产品[6-∞,6+0.5]=(-∞,6.5)；C产品[[11-1,11+1/3]=[10,34/3]；D 产品[8-1,8+1]=[7,9]时，产品结构不变。

四、解：建立指派问题的数学模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=++++++++++++++++++=)4,3,2,1;4,3,2,1(10111011111..8917181715201099121110111015max 433323134443424143332313343332314232221224232221413121111413121144434241343332312423222114131211j i or x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x x x x x Z ij匈牙利算法：28512113235010111189109105)20---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-ij c （⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→33109103501033015450 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ΦΦΦΦ→11-7610210011-2150***⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦΦΦΦ→650021102140****； 最优解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010100001000001)(ij x甲—A ，乙—C ，丙—D ，丁—B 地区推销，可是利润最大。

最大利润为58万元。

五、（1）叙述层次分析法的步骤； 1.建立递阶层次结构； 2.构造成对比较判断矩阵； 3.计算权向量并作一致性检验；4.计算组合权重向量并作组合一致性检验。

(1)求方案层对目标层的权重；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0.11570.06850.04850.48090.28630.16340.27900.15150.27900.27900.27900.16340.21840.16340.53960.53960.53960.63010.53960.1634⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0.25940.28710.4362 （2）进行总排序的一致性检验。