2009《数学建模》 期末试卷 A
考 形式：开卷
考 ：
120 分
姓名： 学号： 成 ：
___
1．（10 分）叙述数学建模的基本步 ，并 要 明每一步的基本要求。
2．（10 分） 建立不允 缺 的生 售存 模型。
生 速率 常数 k ， 售速率 常数 r ， r k 。
在每个生 周期 T 内，开始一段 （ 0 t T 0 ）
生 售，后一段 （ T 0 t
T
）只 售不
生 ，存 量
q(t )
的 化如 所示。
每次生 开工
c
1
，每件 品 位 的存
c
2
，以 用最小 准 确定最 周
期 T ，并 r k 和 r
k 的情况。
3．（10 分）
x(t )
表示 刻 t 的人口， 试解释阻滞增长（
Logistic ）模型
dx r (1
x
)x
dt x m
x(0) x 0
中涉及的所有 量、 参数，并用尽可能 的 言表述清楚 模型的建模思
想。
4．（ 25 分）已知 8 个城市 v 0，v 1，⋯ ,v 7 之 有一个公路网（如 所示） ，每条公路 中的 ， 上的 数表示通 公路所需的 ．
（1） 你 在城市 v 0，那么从 v 0 到其他各城市， 什么路径使所需的 最短？
（ 2）求出 的一棵最小生成 。
5．（15 分）求解如下非 性 划
:
2
2
Max z x 1 2 x 1 x 2
6．（20 分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙 . 与分析 , 两种金属成分所占的百分比之和 x 与合金的膨 系数 y 之 有一定的相关关系 . 先 了 12 次, 得数据如下表：
表 2
x i
y i
x i
y i
试建立合金的膨胀系数y 与两种金属成分所占的百分比之和x 的模型。
7．（10 分）有 12 个苹果，其中有一个与其它的 11 个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
《数学建模》模拟试卷（三）参考解答
1.
,作出一些必要的简化和数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的
假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
数学建模方法
一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。
测试分析是将研究对象看作一个"黑箱 "( 意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统
计分析，找出与数据拟合得最好的模型。
数学建模的一般步骤
(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的
主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题
化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如
果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完
善。
2.
c1c2 r (k r )T
c(T )
2k，使 c(T )
单位时间总费用T达到最小的最优周期
T *＝2c1k T *＝2c1
c2 r (k r ) 。
当r k 时，c2 r，相当于不考虑生产的情况；当r k 时，T *，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。
3.
t——时刻；
x(t)
—— t 时刻的人口数量；
r——人口的固有增长率；
x
m——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
x 0
——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后， 增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。
且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率
r ( x)
是人口数量
x(t )
的的减函数。
假设
r ( x)
为
x(t)
的线性函数：
r ( x) r sx
(r 0, s 0)
，
其中， r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是
x 0）的增长率。
r
当
x
x
m 时人口不再增长，即增长率
，代入有 s
r (x m ) x
m ，从而有
x
r (x) r 1
x
m
，
根据 Malthus 人口模型，有
dx x
r (1 ) x
dt
x m x(0)
x 0
4. (1)
v
0 到其它各点的最短路如下图：
各点的父点如下：
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v0 v0 v0 v2 v3 v0
v5
v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→ v1: 1 v0→ v2: 2
v0→ v2→ v3:
3 v0 → v2→v3→ v4: 6 v0→ v5:
4
v0→ v5→ v6: 6
v0→ v2→→ v3→ v7: 9
(2) 最小生成树如下图：
5．最 解
(x 1*
, x 2* )
(5,1)
，最 目 z *
6．
画出散点 ( 2
11), 从散点 上看出 ,13 已知的数据点大致在一条抛物 的周 ,
假定回 函数
y = 0 +
1
2 2
.
x +
x
作 x 1 = x, x 2 = x 2,
用多元 性回 分析方法得到
y = , , ⋯ , T ,
1 37.0 1369.00
1 37.5 1406 .25
X
1 43.0 1849.00 13 3 ,
= ( 0, 1, 2)T .
13.0 520.0 20845.5 30.32
520.0
20845.5
837460
1207.9 X T X=
20845.5
837460 33717085 , X T y =
48249.3 ,
20304.1
1016.5 12.6958 271.6231
1016.5
50.9166
0.6362
13.3866
(X T X) 1=
12.6958 0.6362 0.00795
，
= (X T X ) 1X T y =
0.1660
.
又
Q = ( y X
)T ( y X
) = ,
n
y) 2
y
= ,
S yy
( y i
i 1
= , U = S yy
Q = .
在 着性水平
= 下, 用 F 法 H 0：
1 =
2= 0.
3.9689 / 2
因 量 F = 0.2523 / 10 = ＞ (2 1, 13 2 1)=,
所以拒 H 0, 即 Y 与 2 个 量 x 1, x 2 之 存在特 着的 性相关关系.
再用 t 法 假 H 1： i = 0 ， i=1,2，可知 量 x 1， x 2 y 的影响 着 . 故 x 与 y 之 的 公式 y = x + .
7．
先把苹果 号 1～ 12, 把 1～ 4 和 5～8 放在天平两 :
（ 1）两 持平：就在 9～12 中 , 再把 9 和 10 放在天平两 , 再平就在 11 或 12 中 , 若 9 和 10 不平， 在 9 或 10 中；
（ 2）两 不平 : 假 1234 重 5678 , 行第二次称量 125 和 349；若平了就在 678
中且是 的 , 再称 6 与 7 即可；若 125 重 349 在 12 中且是重的 , 再称 1 与 2 即可；若
125 349 重 , 坏的是 5。