信号系统习题解答3版-3第3章习题答案3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率5 kHz f =，脉宽20 s τ=μ，幅度10V E =，如图题3-1所示。
用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz 频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图 题3-1解：5kHz f =，20μs τ=，10V E =，11200T s fμ==，41210f ππΩ== 频谱图为从频谱图看出，可选出5、20、80kHz 的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图 题3-3解： ()f t 在一个周期（0，T 1）内的表达式为： 11()()Ef t t T T =-- 111110011111()()(1,2,3)2T T jn tjn t n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π-Ω-Ω==--=-=±±±⎰⎰11010011111()()2T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=⎰⎰傅氏级数为：n c12(kHz)f 5205010015080111122()22244j t j t j t j tE jE jE jE jE f t e e e e ππππΩ-ΩΩ-Ω=-+-+-(1,2,3)2n E F n n π==±±± (0)2(0)2n n n πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩频谱图为：3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 V E =, 10 kHz f =，大致画出幅度谱。
图 题3-4解：由于()f t是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0n b =，另由图可知()f t 有直流分量， ()f t 在一个周期（2T -，2T）内的表达式为： 111cos 4()04T E t t f t T t ⎧Ω<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 其中：112T πΩ=11112401112411()cos T T T T E a f t dt E tdt T T π--==Ω=⎰⎰ nF 2Eπ6E π10E π1Ω13Ω15Ω1-Ω13-Ω15-Ω4E π12Ω14Ω8E π2E12-Ω14-Ω2π-2πnϕ15-Ω13-Ω1-Ω1Ω13Ω15Ω12Ω12-Ω14-Ω14Ω111111241112422()cos T Tjn tjn t T T n n a c f t e dt E te dtT T -Ω-Ω--===Ω⋅⎰⎰211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-⎡⎤⎢⎥=+=-=⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦111211122()2T j t T E a c f t e dt T -Ω-===⎰所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：11122()cos cos 2cos 42315EE E E f t t t t πππ=+Ω+Ω-Ω+3-6 利用信号()f t 的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
nc 1ΩΩ2E23E π215E π-12Ω13Ω14Ω15Ω16Ω17Ω18Ω19Ω110ΩEπ图 题3-6解： (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。
(b) ()f t 为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。
(c) ()f t 为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) ()f t 为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。
(f) ()f t 为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数()f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。
根据下列各种情况的要求画出()f t 在一个周期(0t T <<)的波形。
（1）()f t 是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）()f t 是偶函数，只含有奇次谐波分量；（3）()f t 是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
解：（1）由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形，由()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形及()f t 是偶谐函数，它在,42T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形相同，它在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形相同。
根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。
按上述类似的方法可画出（2）和（3）。
（2）（3） t()f t4T 02TTt()f t4T 02TTt()f tTT T3T图 题3-73-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
图 题3-8解法一：按定义求22()()cosj tj tF j f t edt E t e dt ττπτ∞-Ω-Ω-∞-Ω==⋅⎰⎰ 由于()f t 是偶函数，所以220220()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdtE E t t dt E E ττττππττππττπτπτττπττπτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤=+Ω+-Ω=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 化简得：2cos 22()1E F j ττπτπΩ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ω=⋅⎡⎤Ω⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 解法二：利用卷积定理求 设：12()cos,()()()22f t t f t E u t u t πτττ⎡⎤==+--⎢⎥⎣⎦则 12()()()f t f t f t =⋅，于是121()()()2F j F j F j πΩ=Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ⎡⎤Ω=Ω++Ω-⎢⎥⎣⎦，2()Sa 2F j E ττΩ⎛⎫Ω=⎪⎝⎭故1()()()Sa 22F j E ππτπδδτπττ⎧Ω⎫⎡⎤⎛⎫Ω=Ω++Ω-*⎨⎬⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭Sa +Sa 2222E E τπττπτττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()F j Ω的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2E ττΩ⎛⎫⎪⎝⎭分别向左、右移动πτ（幅度乘以12）后叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示(j )F Ω的傅里叶逆变换()f t 。
图 题3-10解：（a ）00()()j t F j Ae ΩΩ=-Ω<Ω<Ω00000()()011()22()j t j t t j t t j t A f t Ae e d e e j t t ππΩΩ+Ω-+ΩΩ-Ω⎡⎤=Ω=-⎣⎦+⎰[]000Sa ()A t t πΩ=Ω+（b ）2020(0)()(0)j jAe F j Ae ππ-⎧-Ω<Ω<⎪Ω=⎨⎪<Ω<Ω⎩0000002201()sin Sa 222j j j t j tA t t f t Ae e d Ae e d ππππΩ-ΩΩ-Ω⎡⎤ΩΩΩ=Ω+Ω=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ )(Ωj F τππ3τπ-π3-Ωπ5π5-πτ/2E 2/τE0(cos 1)At tπ=Ω-3-13 求函数c Sa()t Ω的傅里叶变换。
解：利用对偶性求因为()Sa()2EG t E τττΩ↔，所以 Sa()2()2()2t E EG EG ττττππ↔-Ω=Ω 2Sa()()2t G ττπτ↔Ω令2cτΩ=，则 2Sa()()c c ct G πΩΩ↔ΩΩ即：F[][]Sa()()()c c c ct u u πΩ=Ω+Ω-Ω-ΩΩ3-15 对图题3-15所示波形，若已知[]11()(j )f t F Ω=，利用傅里叶变换的性质求图中2()f t ,3()f t 和4()f t 的傅里叶变换。
图 题3-15解：已知F []11()()f t F j =Ω21()()f t f t T =+，∴ 21()()j T F j F j e ΩΩ=Ω⋅ 31()()f t f t =-， ∴ 31()()F j F j Ω=-Ω413()[()]()f t f t T f t T =--=- ∴ 41()()j T F j F j e -ΩΩ=-Ω3-21 已知三角脉冲信号1()f t 如图题3-21(a)所示。
试利用有关性质求图题3-21(b)中的2()f t =10cos 2f t t τΩ⎛⎫- ⎪⎝⎭的傅里叶变换2(j )F Ω。
图 题3-21解：设F []211()()Sa 24E f tF j ττΩ⎛⎫=Ω=⎪⎝⎭则F 21112()()()2j f t F j eF j ττΩ-⎡⎤-=Ω=Ω⎢⎥⎣⎦而F []2()f t =F [][]{}101201201()cos ()()22f t t F j F j τ⎡⎤-Ω=Ω+Ω+Ω-Ω⎢⎥⎣⎦=[][]0000()()22101022002221()()2Sa Sa 444j jj j jF j e F j eE e ee ττττττττΩ+ΩΩ-Ω--ΩΩΩ--⎧⎫=Ω+Ω+Ω-Ω⎨⎬⎩⎭⎡⎤Ω+ΩΩ-Ω⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-23所示信号的傅里叶变换。
图 题3-23解：（3）[]33()()4(1)(2)df t t u t u t dtϕ==--- 323()4Sa 2j j e -ΩΩ⎛⎫ΦΩ= ⎪⎝⎭33()3,()1f f ∞=-∞=-[]3323334Sa ()2()()()()2()j j F j f f e j j πδπδ-ΩΩ⎛⎫⎪ΦΩ⎝⎭Ω=+∞+-∞Ω=+ΩΩΩ3-25 若已知[]()(j )f t F Ω=，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。
（2）(2)()t f t -（4）d ()d f t tt（5）(1)f t -解：（2）F [](2)()t f t -=F []()()2()2()dF j tf t f t jF j d Ω-=-ΩΩ（4）F []()()()()d j F j df t dF j tj F j dt d d ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤==-Ω+Ω⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦（5）F [](1)f t -=F []{}(1)()j f t F j e -Ω--=-Ω3-29 根据附录B 中给出的频谱公式，粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度fB (图中时间单位为s μ)。