浙江大学远程教育学院
《工程数学》课程作业
姓名: 杜小勇 学 号: 7
年级: 15秋 学习中心: 西溪直属
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《复变函数与积分变换》
第一章
1.1计算下列各式:
( 2) ( a-b i) 3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b) ( 3) i (i 1)(i 2)
--解 i 1.2证明下列关于共轭复数的运算性质: ( 1) 1212()z z z z ±=± ( 2) 1212()z z z z = ( 3) 11222
()(0)z z z z z =≠ 1.4将直线方程ax+by+c=0(a 2+b 2≠0)写成复数形式.[提示: 记x+i y=z.]
1.5将圆周a(x 2+y 2)+bx+cy+d =0(a ≠0)写成复数形式(即用z 与z 来表示, 其中z=x+iy ).
1.6求下列复数的模与辐角主值:
i
1.8将下列各复数写成三角表示式:
( 2) sin a +I cos a
1.10解方程: z 3+1=0.
1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域, 并指明它是有界的还是无界的? 是单连通区域还是多连通区域?
( 1) 2<|z|<3 ( 3) 4π<arg z <3
π; 且1<|z|<3 ( 5) Re z 2<1 ( 7) |arg z |<
3π
第二章
2.2下列函数在何处可导? 何处不可导? 何处解析? 何处不解析?
( 1) f(z)=z z 2
( 2) f(z)=x 2+iy 2
2.3确定下列函数的解析区域和奇点, 并求出导数: ( 1) 211
z - 2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+i v .
( 1) u(x-y)(x 2+4xy+y 2)
( 3) u=2(x-1)y, f (0)=-i
( 4) u=e x (x cos y - y sin y),f (0)=0
2.13试解方程:
( 1) e z
( 4) sin z +cos z =0
2.14求下列各式的值:
( 1) cos i
( 3) (1-i)1+i
第三章
3.1计算积分120[()]d i
x y ix z +-+⎰.积分路径为( 1) 自原点至1+i 的直线段; ( 2) 自原点沿实轴至1, 再由1铅直向上至1+i; ( 3) 自原点沿虚轴至i, 再由i 沿水平方向向右至1+i.
3.2计算积分d ||c z z z ⎰
的值, 其中C 为( 1) |z|=2; ( 2) |z|=4. 3.6计算21d c z z z
-⎰ , 其中为圆周|z|=2 3.8计算下列积分值:
( 1) 0sin xi
⎰z d z ( 3) 0(32)d i
z e z z +⎰ 3.10计算下列积分:
( 1) |2|1d 2
z
z e z z -=-⎰ ( 2) 2||221d 1z z z z z =-+-⎰ ( 4) ||d (1)(1)n
z r z r z =≠-⎰ 3.11计算I=d (21)(2)c z z z z +-⎰
, 其中C 是( 1) |z |=1; ( 2) |z -2|=1; ( 3) |z -1|=12; ( 4) |z |=3.
3.13计算下列积分:
( 2) ||22
sin d ()2
z z
z z π=-⎰ ( 3) 123cos d C C C z z z -=+⎰, 其中C 1: |z |=2, C 2: |z |=3.
第四章
4.2下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?
( 1) 11i
()2n n n ∞
=+∑ ( 2) 1i !
n n n ∞
=∑
4.4试确定下列幂级数的收敛半径:
( 1) 11
n n nz ∞
-=∑ ( 2) 211(1)n n
n z n ∞
=+∑
4.5将下列各函数展开为z 的幂级数, 并指出其收敛区域: ( 1) 31
1z + ( 3) 221
(1)z +
( 5) sin 2 z
4.7求下列函数在指定点z 0处的泰勒展式: ( 1) 21
z , z 0=1
( 2) sin z , z 0=1
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数: ( 1) 21
(1)z z z +- , 0<|z |<1,1<|z |<+∞ ( 3) 2225
(2)(1)z z z z -+-+ , 1<|z |<2 ( 4) cos i
1z - , 0<|z -1|<+∞
4.9将f(z)=21
32z z -+ 在z =1处展开为洛朗级数.
第五章
5.3下列各函数有哪些奇点? 各属何类型( 如是极点, 指出它的阶数) :
( 1) 221(4)z z z -+ ; ( 2) 3sin z z ; ( 3) 1sin cos z z
+ ; ( 4)
21(1)z z e - ; ( 5) ln(1)z z + ; ( 6) 111z e z -- . 5.5如果f(z)与g(z)是以z 0为零点的两个不恒为零的解析函数, 则 0
0()()lim lim ()()z z z z f z f z g z g z →→'=' ( 或两端均为∞) . [提示: 将()()
f z
g z 写成0()()()m n z z z z ϕψ--的形式, 再讨论.] 5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数: ( 1) 1z e z
- ( 2) 7
22
(2)(1)z z z -+ ( 5)
1sin z z
( 6) sh ch z z 5.8利用留数计算下列积分: ( 1) ||1d sin z z z z
=⎰ ( 2) 32
||2d (1)(3)z
z e z z z =-+⎰ ( 4) 1||2sin d (1)
z z z z z e =-⎰ 5.12求下列各积分之值:
( 1) 20d (1)cos x a a θθ>+⎰
( 3) 2
222d (0)()x x a x a +∞-∞
>+⎰ ( 4) 2cos d 45
x x x x +∞
-∞++⎰
第八章
8.4求下列函数的傅氏变换:
( 1) 1,()1,0,f t -⎧⎪=⎨⎪⎩ 10,01,t t -<<<<
( 2) ,()0,
t e f t ⎧=⎨⎩ 0,0;t t ≤> ( 3) 21,(t)0,t f ⎧-=⎨⎩
||1,||1;t t ≤> 8.5求下列函数的傅氏变换, 并证明所列的积分等式.
( 2) sin ,()0,t f t ⎧=⎨⎩
||,||.t t ππ≤> 证明 20sin ,sin sin d 210,
t t πωπωωω+∞⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰
||,||.t t ππ≤> 8.13证明下列各式: (1) f 1(t )* f 2(t )= f 2(t )* f 1(t )
8.14设
10,()1,f t ⎧=⎨⎩ 0,0;t t ≤> 20,()e ,
t f t -⎧=⎨⎩ 0,0,t t <≥ 求f 1(t )* f 2(t ).
8.15设1()F ω= F [f 1(t)], 2()F ω= F [f 2(t)], 证明:
F [f 1(t)·f 2(t)]=121()*()2F F ωωπ
.
第九章
9.1求下列函数的拉氏变换: 其它。