浙江大学远程教育学院 《工程数学》课程作业姓名: 刘子凡学 号: 713117202004 年级:13年秋电气自动化学习中心:龙泉学习中心————————————————————————————— 教材:《复变函数与积分变换》 第一章1.1计算下列各式: (2)(a-b i )3 解(a-bi)(3)i(i 1)(i 2)--1.2证明下列关于共轭复数的运算性质: (1)1212()z z z z ±=±(2)1212()z z z z =(3)11222()(0)z z z z z =≠1.4将直线方程ax+by+c=0(a 2+b 2≠0)写成复数形式.[提示:记x+i y=z.]1.5将圆周a(x 2+y 2)+bx+cy+d =0(a ≠0)写成复数形式(即用z 与z 来表示,其中z=x+iy ).1.6求下列复数的模与辐角主值:(1)3 i1.8将下列各复数写成三角表示式:(2)sin a+I cos a1.10解方程:z3+1=0.1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连通区域还是多连通区域? (1)2<|z|<3(3)4π<arg z <3π;且1<|z|<3(5)Re z 2<1(7)|arg z |<3π第二章2.2下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?(1)f(z)=z z 2(2)f(z)=x 2+iy 22.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数: (1)211z2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+i v . (1)u(x-y)(x 2+4xy+y 2)(3)u=2(x-1)y, f(0)=-i(4)u=e x(x cos y - y sin y),f(0)=02.13试解方程:(1)e z=1+3i(4)sin z+cos z=02.14求下列各式的值: (1)cos i(3)(1-i)1+i第三章3.1计算积分120[()]d ix y ix z +-+⎰.积分路径为(1)自原点至1+i 的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i ;(3)自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至1+i.3.2计算积分d ||czz z ⎰的值,其中C 为(1)|z|=2;(2)|z|=4.3.6计算21d cz z z-⎰ ,其中为圆周|z|=23.8计算下列积分值: (1)0sin xi⎰z d z(3)0(32)d iz e z z +⎰3.10计算下列积分:(1)|2|1d 2zz e z z -=-⎰(2)2||221d 1z z z z z =-+-⎰(4)||d (1)(1)nz r zr z =≠-⎰3.11计算I=d (21)(2)c z z z z +-⎰,其中C 是(1)|z |=1;(2)|z -2|=1;(3)|z -1|=12;(4)|z |=3.3.13计算下列积分: (2)||22sin d()2z z z z π=-⎰(3)123cos d C C Czz z -=+⎰,其中C 1:|z |=2,C 2:|z |=3.第四章4.2下列级数是否收敛?是否绝对收敛? (1)11i ()2n n n∞=+∑(2)1i !nn n ∞=∑4.4试确定下列幂级数的收敛半径: (1)11n n nz ∞-=∑(2)211(1)n n n z n∞=+∑4.5将下列各函数展开为z 的幂级数,并指出其收敛区域: (1)311z +(3)221(1)z(5)sin 2 z4.7求下列函数在指定点z 0处的泰勒展式: (1)21z ,z 0=1(2)sin z ,z 0=14.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数: (1)21(1)z z z +- ,0<|z |<1,1<|z |<+∞(3)2225(2)(1)z z z z -+-+ ,1<|z |<2(4)cos i1z-,0<|z-1|<+∞4.9将f(z)=2132z z-+在z=1处展开为洛朗级数.第五章5.3下列各函数有哪些奇点?各属何类型(如是极点,指出它的阶数): (1)221(4)z z z -+ ;(2)3sin z z ;(3)1sin cos z z+ ;(4)21(1)zz e-;(5)ln(1)zz+;(6)111ze z--.5.5如果f(z)与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数,则00()()lim lim()()z z z zf z f zg z g z→→'='(或两端均为∞).[提示:将()()f zg z写成()()()m nzz zzϕψ--的形式,再讨论.]5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数:(1)1z e z-(2)722(2)(1)z z z -+(5)1sinz z(6)shch z z5.8利用留数计算下列积分:(1)||1d sinzz z z =⎰(2)32||2d(1)(3)zzezz z=-+⎰(4)1||2sind (1)zzzz z e=-⎰5.12求下列各积分之值:(1)2d(1)cosxaaθθ>+⎰(3)2222d (0)()x x a x a +∞-∞>+⎰(4)2cos d 45xx x x +∞-∞++⎰第八章8.4求下列函数的傅氏变换:(1)1,()1,0,f t -⎧⎪=⎨⎪⎩ 10,01,t t -<<<<(2),()0,t e f t ⎧=⎨⎩0,0;t t ≤>其他(3)21,(t)0,tf⎧-=⎨⎩||1,||1;tt≤>8.5求下列函数的傅氏变换,并证明所列的积分等式.(2)sin,()0,tf t⎧=⎨⎩||,||.ttππ≤>证明2sin,sin sind210,ttπωπωωω+∞⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰||,||.ttππ≤>8.13证明下列各式:(1) f1(t)* f2(t)= f2(t)* f1(t)8.14设10,()1,f t ⎧=⎨⎩ 0,0;t t ≤> 20,()e ,t f t -⎧=⎨⎩ 0,0,t t <≥ 求f 1(t )* f 2(t ).8.15设1()F ω= F [f 1(t)], 2()F ω= F [f 2(t)],证明:F [f 1(t)·f 2(t)]=121()*()2F F ωωπ第九章9.1求下列函数的拉氏变换:(1)3,()1,0,f t⎧⎪=-⎨⎪⎩02,24,4;ttt≤<≤< >(2)3,()cos,f tt⎧⎪=⎨⎪⎩0,2;2ttππ≤<≥9.2求下列函数的拉氏变换:(1)sin2t(4)||t9.3求下列函数的拉氏变换:(1)232++t t(3)2-(1)tt e(5)cos t at9.4利用拉氏变换的性质,计算L [f (t )]: (1)3()sin 2t f t te t -= ;(2)30()sin 2d tt f t t e t t -=⎰9.5利用拉氏变换的性质,计算L -1[F (s )] (2)1()ln 1s F s s +=-(4)221()(1)F s s =-9.6利用像函数的积分性质,计算L [f (t )]:(1)sin ()ktf t t= (2)30sin 2d t t e t t t -⎰9.8求下列像函数F (s )的拉氏变换:(5)42154s s ++ (7)221s e s-+9.11利用卷积定理证明下列等式:(1)L [0()d t f t t ⎰ ]= L [()*()f t u t ]=()F s s;(2)L -1222sin (0).()2s t at a s a a⎡⎤=≠⎢⎥+⎣⎦教材:《常微分方程》第一章2.验证函数1y cx c =+ (c 是常数)和y =±都是方程1y xy y'=+ 的解.4.验证函数12cos sin y c kx c kx =+ (k,c 1, c 2是常数)是方程20y k y '''+=的解.0.x y +=8.2(1)tan ,(0) 2.y y x y '=-=求下列齐次方程的解: 9.22d 2.d y xy x x y =+ 10.d (1ln ln ).d y y y x x x =+-12.d ,(1) 4.d y y y x x==13.1(1).2xy y y '-==求下列一阶线性方程或伯努利方程的解: 14.2d d y y x x x=- 15.2d 2,(0)2d x y xy x e y x -++== 17.2d 0,(0)1d 2(1)2y xy x y x x y--==- 验证下列方程为全微分方程或找出积分因子,然后求其解: 19.453(5d d )d 0x y x x y x x ++=20.2(d d )d 5d 0,(0)1x x x y x x y y y ++-==第二章求下列方程的通解或特解: 7.40y y '''-=8.20y y ''+=9.20y y y '''-+=10. 4130y y y '''++=11. 00540,|5,|8x x y y y y y ==''''-+=== 求下列方程的通解或特解: 18.y y a ''+= (a 是常数),y (0)=0,y ’(0)=0 19.5420,(0)0,(0)2x y y y e y y ''''++===- 24.22x y y y e -'''++= 26.2002d d cos 2,||2d d t t x x x t x t t==+===- 27.22d sin ,0d x x at a t+=> 28.22d d 32sin cos d d y y x x x x+=+ 31.225cos y y x '''+=33.22cos x y y y e x -'''-+=34.4sin 2y y x x ''+=答案见教材“习题答案”。