i. 拉格朗日插值多項ii. 式與泰勒多項式的誤差分析 iii. 朱亮儒★曾政清☆陳昭地★iv. ★國立臺灣師範大學數學系教授 v. ☆臺北市立建國高級中學數學教師 vi.vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。

viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項 ix. 一 引言x. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（[1][2][3]），99數學課綱包含插值多項式部分如下： xi. 求xii. 32()2563f x x x x =-++xiii. (1)(1)(2)(1)(2)(3)a b x c x x d x x x =+-+--+--- xiv. 中的, , , a b c d .xv. ()f x 除以()()x a x b --的餘式為通過()(),(),,()a f a b f b 的插值多項式。

xvi. 若f 有,a b 兩實根，則f 可寫成()()()()f x q x x a x b =--的型式。

xvii. 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。

xviii. 設通過(1,1),(2,3),(3,7)的多項式為()(1)(1)(2)f x a b x c x x =+-+--，求,,a b c 及12f ⎛⎫⎪⎝⎭.xix. 插值多項式：通過(11,3),(12,5),(13,8)的多項式可表示為 xx.(12)(13)(11)(13)(11)(12)()358(1112)(1113)(1211)(1213)(1311)(1312)x x x x x x f x ------=⨯+⨯+⨯------，xxi. 求(11.5)f 的值。

xxii. 此處暫不處理下面的題型：「設通過(1, 1), (2, 3), (3, 7)的多項式為2()f x a bx cx =++,求,,a b c 。

」此類題型將在數學的IV 的聯立方程組章節中處理。

xxiii. 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：xxiv. 他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：「任意正整數都可以表成四個平方數的和」。

xxv. 他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。

(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi. 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。

xxvii. 之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙（1769-1821,1804-1815擔任法皇）讚譽他為「數學科學的巍峨金字塔」xxviii. 泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。

xxix. 拉格朗日恆等式：xxx. ()2222111,112n n n ni i i i j k k j i i i j k a b a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，xxxi. ()2222a bab a b ⋅=-⨯ ，xxxii. ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅.xxxiii. 具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。

xxxiv. 最得意的巨著《分析力學》。

xxxv. 拉格朗日差值誤差公式（[5]）：若121,,,,n n x x x x + 為[,]a b 區間中相異實數，且1[,]n f Ca b +∈,則對每一個[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈,使得xxxvi.()()()n f x P x R x =+,xxxvii. 其中()P x 為函數()f x 在121, , , , n n x x x x + 的n 階拉格朗日插值多項xxxviii. 式，而()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為其插值誤差式。

xxxix. 美國早期數學家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報告中，曾對多項式近似超越函數有精準的描述。

當時他提出的泰勒級數展開式雖然符合時代的需求，但並未涉及收斂性的問題，有關餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A. L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型([6],[7],[8],[9])。

本文即欲介紹這些餘式型誤差項的初等證明及一些相關應用。

xl. 二 拉格朗日插值多項式誤差項估計 xli. 首先，重述一遍定理：xlii. 定理1.〔拉格朗日插值多項式誤差估計〕([5])xliii. 設121, , , n x x x + 為區間[,]a b 上的(1)n +相異實數，1[,]n f C a b +∈(即(1)n f +在[,]a b 上連續)，則對每一[,]x a b ∈，存在()(,)c x a b ∈使得xliv. ()()()n f x P x R x -=xlv. 其中()P x 為函數f 在點121,,,n x x x + 的n 階拉格朗日多項式，而xlvi. ()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 為插值多項式的誤差式。

xlvii. 證明：當k x x =時，()()k k f x P x =，此時可任取()(,)c x a b ∈都成立。

xlviii. 當,1, 2, , , 1k x x k n n ≠∀=+ 時，設:[, ]g a b → 定義成xlix. []121121()()()()()()()()()()()n n t x t x t x g t f t P t f x P x x x x x x x ++---=------l.則1[, ]n g C a b +∈，且()()0,k g x g x ==1, 2, , , 1k n n ∀=+ ，逐次利用Rolle 定理知存在()(, )c x a b ∈使得()(1)()0n g c x +=。

又對任意(, )t a b ∈，[](1)(1)(1)121(1)!()()()()()()()()n n n n n g t f t P t f x P x x x x x x x +++++=------li. 且()(1)()0n P c x +=，於是可得lii. ()(1)121()()()()()()(1)!n n f c x f x P x x x x x x x n ++-=---+liii. 即()(1)121()()()()()(1)!n n n f c x R x x x x x x x n ++=---+ 。

liv. 由定理1可以得到下面的推論： lv. 推論1-1：lvi. (1)當1[, ]n f Ca b +∈時，(1)()n f t +在[, ]a b 上連續，故有一1n M +使lvii. (1)1max ()n n a t bM ft ++≤≤=，故1121()()()()(1)!n n n M R x x x x x x x n ++≤--⋅⋅-+ 。

lviii. (2)當()f x 一開始就是k 次的多項式函數時，則對[,]a b 內任一大於或等於 lix. k 階以上的拉格朗日多項式就是函數()f x 本身。

lx. 在數值分析中，拉格朗日插值多項式誤差公式具有關鍵性的角色。

lxi. 三 泰勒定理lxii. 利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：lxiii. 定理2.〔泰勒定理(拉格朗日餘式型)〕：lxiv. 設0(, )x a b ∈，1[, ]n f Ca b +∈，則對每一[, ]x a b ∈存在()(,)c x a b ∈使得lxv. ()()()n n f x P x R x -=，lxvi. 其中，()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑為()f x 在0x 點的n 階泰勒多項式，lxvii. ()(1)10()()()(1)!n n n f c x R x x x n ++=-+為()f x 用()n P x 表示的誤差項。

lxviii. 證法(一)(完全平行於定理1)如下：lxix. ○1 當0x x =時，可任取()c x 為(,)a b 內的任一數都成立。

lxx. ○2 當0x x ≠時，設():[,]g t a b → 定義成 lxxi. []1010()()()()()(),()n n n n t x g t f t P t f x P x x x ++-=---- lxxii. 則1[,]n g Ca b +∈且()000()()()()n g x g x g x g x '==== ，lxxiii. 逐次用Rolle 定理知存在()(,)c x a b ∈使得()(1)()0n gc x +=。

lxxiv. 又對任意(,)t a b ∈，lxxv. [](1)(1)(1)10(1)!()()()()()()n n n n n n n gt f t P t f x P x x x +++++=----lxxvi. 且()(1)()0n nP c x +=，於是可得 lxxvii. ()(1)10()()()()()(1)!n n n n f c x f x P x x x R x n ++-=-=+。

lxxviii. 證法(二)([6][8])： lxxix. 設實數Q 滿足lxxx.1()000000()()()()()()()(1)!1!!n n n x x f x f x Q f x f x x x x x n n +⎧⎫-=-+-++-⎨⎬+⎩⎭lxxxi. 並設函數:[,]a b ϕ→ 定義成lxxxii. ()1()()()()()()()()1!!(1)!n n n f t f t Qt f x f t x t x t x t n n ϕ+'⎧⎫=-+-++-+-⎨⎬+⎩⎭lxxxiii. 依(),,,n f f f' 之假設知:[,]a b ϕ→ 為連續且在(,)a b 內可微分，顯然()0x ϕ=且由實數Q 之定義知0()0x ϕ=；於是由Rolle 定理知0,x x 之間有一()c x 使得()()0c x ϕ'=。