R (r ) AJ 0 ( r ).
其中 满足 J 0 '( r0 ) 0
第四章-贝塞尔函数的应用
9
r R''(r ) rR'(r ) ( r m ) R(r ) 0 固有值问题 (4.4) R'(r0 ) 0, R(0) ,
2
2
2
m0
第四章-贝塞尔函数的应用
15
由于圆盘的对称性和边界条件与 无关， 所以定解问题的解也与 无关， 用分离变量法可设
u R(r )T (t ). 代入泛定方程，得 1 R''(r ) R'(r ) R (r ) 0 固有值问题 (4.18) r ( 2 ) R(1) 0,| R(0) |
贝塞尔函数的应用
一、 函数贝塞尔固有函数展开
按照斯图姆—刘维尔固有值理论，贝塞尔方程固有 值问题的固有函数系 J (i x) , (i 1, 2,3,) 组成区间 [0,a] 上的完备的正交函数系. 任何一个在区间[0,a]上连续且只有有限个极大值 和极小值的函数 f (x), 则可按固有函数 J (i x) 展开为如下形式的 广义傅立叶级数(傅里叶-贝塞尔级数)
第四章-贝塞尔函数的应用
4

1
0
J ( ) 4 x J 0 (n x) dx 1 n (1 2 ) n n
3
1 2 J 0 (n x) J1 (n ). 2
2
2 4 (1 2 ), 那么, f n n J1 (n ) n
2 4 (1 2 ) J 0 (n x), 0 x 1. 因此, x n n 1 n J1 (n )
第四章-贝塞尔函数的应用
7
''( ) m 2( ) 0 固有值问题 (4.3) ( ) ( 2 ), '( ) '( 2 )
求解可得固有值为 m n , n 0,1, 2,... 求解可得固有函数为 n ( ) An cos n Bn sin n 由于边界条件与 无关，所以定解问题的解也与 无关， ( ) 只能取常数，这对应于m=0的情况。 事实上把 u (r , , z ) 代入边界条件可得 R(r )( ) Z (0) f1 (r ),
R(r ) AJ 0 ( r ) BN 0 ( r )
按照斯图姆—刘维尔固有值理论或贝塞尔函数零点 2 , 的性质，可设 n n 以及 0 0 1 2 n 相应的固有函数系为 1, J 0 (1r ), J 0 (2 r ), J 0 (3 r ),. 其中 n 为 J 0 '( r0 ) 0 的第n个正根
f 20 f10 C0 , l
D0 f10 ,
f 2 n f1n en l Dn nl n l , e e
f 2 n f1n e n l C n n l n l , e e
n 1
第四章-贝塞尔函数的应用
13
代入一般解，得到圆柱体内稳定时的温度分布函数
n 1
边界条件 u (r , , 0) f1 (r ), u (r , , l ) f 2 (r ) 将 (4.6)式代入边界条件，同时将 f1 (r ) 和 f 2 (r ) 按照固有函数系 J 0 ( n r ) (n 0,1,2, ) 展开，得
n 1 n 0
2
2
R(r )( ) Z (l ) f 2 (r ).
根据上两个等式可知 ( ) 只能取常数。
第四章-贝塞尔函数的应用
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r R''(r ) rR'(r ) ( r m ) R(r ) 0 固有值问题 (4.4) R'(r0 ) 0, R(0) ,
2
2
2
m0
当
1 0, 方程为 R''(r ) R'(r ) 0, r
欧拉方程
通解为 R (r ) C0 ln r D0 . R'(r0 ) 0, R(r ) , R(r ) D0 , R (r ) 1. 为方便取 当 0, 方程的通解为 R (r ) AJ 0 ( r ) BN 0 ( r ), 由自然边界条件 R(0) 有限，得
在第一类齐次边界条件下，J 0 (n ) 0,
所以 1 2 J 0 (n x ) J1 (n ). 2
2
第四章-贝塞尔函数的应用
3
1 1 d 2 f x J 0 (n x ) xdx. x J 1 ( x) ( x J ( x)) n 2 0 dx J 0 (n x ) n 1 1 1 3 3 t n x 0 x J 0 (n x)dx 0 n3 t J 0 (t ) n dt n 1 n 2 d 1 3 n 4 t (tJ1 (t )) 4 (t J1 (t ) |0 2t 2 J1 (t )dt ) 0 n 0 dt n J1 (n ) 2 n d 2 J1 (n ) 2 2 n 4 (t J 2 (t )) 4 (t J 2 (t )) | 0 n n 0 dt n n

f 2 (r ) f 2 n J 0 (n r ),
n0
(4.8)
r0 2 J 0 (n r ) f k (r )rdr , (k 1, 2) (4.9) 其中 f kn 2 2 0 r0 J 0 (n r0 )
第四章-贝塞尔函数的应用
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注：
(n r0 ) 0, J0
根据线性叠加原理，原定解问题(4.2)的一般解为

u (r , , z ) C0 z D0 (Cn en z Dn e n z ) J 0 (n r ), (4.6)
n 1
其中 C n , Dn 系数将由上下两底面的边界条件确定。
第四章-贝塞尔函 , z ) C0 z D0 (Cn en z Dn e n z ) J 0 (n r ), (4.6)
2
第四章-贝塞尔函数的应用
5
二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解 下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。 例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为 r0 ， 柱高为l，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别 保持为 f 2 (r ) 和 f1 (r ) ， 试求圆柱体内部稳定时的 温度分布。 解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数
u ( r , , z ) 满足定解问题
第四章-贝塞尔函数的应用
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2 u 1 u 1 2u 2u r 2 r r r 2 2 z 2 =0 u ( r , , z ) (4.2) u (r , , z ) r r0 0, r u ( r , , 0) f1 (r ) u (r , , l ) f 2 (r )

f ( x) f n J (n x)
n 1
其中系数 f n 为
J (n x) 0 该级数在区间 [ , a ]( 0) 上一致收敛
fn
1
2

a
f ( x) J (n x)xdx
第四章-贝塞尔函数的应用
2
例1:
在第一类齐次边界条件下，将函数
f ( x) x 2 , 0 x 1
2
, 此处r为圆盘
内任一点的极径，求圆盘内的温度分布规律。 解：此问题可归结为求解定解问题：
2 2 u u 1 u 1 u 2 (0 r 1) t a ( r 2 r r r 2 2 ), (4.17) u (r , , t ) r 1 0, u (r , , t ) 2 u (r , , t ) 1 r , t 0


J1 (n ) 2 2 J 2 (n ) n n J1 (n ) 2 2 2 ( J 0 (n ) J1 ( x)) n n n
J 1 ( x) J 1 ( x)
2 J ( x) x 2 J 2 ( x ) J 0 ( x ) J1 ( x ) x
u ( r , , 0) D0 (Cn Dn ) J 0 (n r ) f1 (r ) f1n J 0 (n r ), (4.7)
n 1
u (r , , l ) C0l D0 (Cn en l Dn e n l ) J 0 (n r )
展开成零阶贝塞尔函数J 0 ( n x) 的傅里叶—贝塞尔级数。 解： 设 n , n 1,2,3, 为 J 0 ( x) 0 的正根，

x 2 f n J 0 (n x) , 0 x 1,
n 1
而系数 f n 为
fn
1 J 0 (n x )
2

1
0
x 2 J 0 (n x ) xdx.
设 u (r , , z ) R (r )( ) Z ( z ) , 代入定解问题, 得 ''( ) m2( ) 0 固有值问题 (4.3) ( ) ( 2 ), '( ) '( 2 ) 2 2 2 r R ''( r ) rR '( r ) ( r m ) R(r ) 0 固有值问题 (4.4) R'(r0 ) 0, R(0) , Z''( z ) Z ( z ) 0, (4.5)
2
2 r 1 2 0 2 2 J 0 (n r0 ) (r0 2 ) J 0 (n r0 ) 0 J 0 (n r0 ). 2 n 2
分别在(4.7)和(4.8)式两边比较 J 0 ( n r )的各项系数，得 D0 f10 , f1n Cn Dn f 20 C0l D0 , f 2 n Cn enl Dn e nl 解得