5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝12 (1－3x)5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－ ()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x.(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－cos 23x 2′＝13sin 23x . 方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x3 ＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′ ＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′ ＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值． 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ， 得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln xe x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 ． 答案 1解析 由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ． 答案 2 14解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)， 又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2. 因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， 所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.由题意可知，切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0得y ＝1；令y ＝0得x ＝－12.∴S ＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是() A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝t n，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝t n答案AD2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于()A．3(2 020－8x)2B．－24xC．－24(2 020－8x)2D．24(2 020－8x)2答案C解析y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.3．函数y＝x2cos 2x的导数为()A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x答案B解析y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝.答案3 2解析∵f′(x)＝33x－1，∴f′(1)＝33－1＝32.5．曲线y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为．答案x＋y－1＝0解析∵y′＝－12－x＝1x－2，∴y′|x＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k＝－1，又切点坐标为(1,0)．∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.1．知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数， 其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成． 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)， ∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( ) A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x B ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x C ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin x D ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x . 4．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1 答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1， ∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是 ． 答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝ . 答案 33解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32 f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是 ，此时点P 的坐标为 ． 答案728⎝⎛⎭⎫－12，14 解析 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫－12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪－12－14－1(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数： (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . ∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 ∵y ＝e sin x ， ∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 又直线l 与x －y ＋1＝0平行， 故直线l 可设为x －y ＋m ＝0. 由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1答案 A解析 依题意得y ′＝e －2x·(－2)＝－2e－2x，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23， 直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)， 所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4B.π2C.3π4D. 7π8 答案 CD 解析 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)， 所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)， 所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ . 答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33， 又0<φ<π，∴φ＝π6. 14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．答案 y ＝－2x －1解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2， 所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB ．－11＋x C.1(1＋x )2D ．－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭ 2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2， ∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0. 解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。