小球从A到B过程，减少的重力势能等于增加的动能
\
mg(h1-h2 ) =
1 mv 2 2
0
v = 10m / s
机械能守恒定律：关注初末状态的机械能N的关系 即 能与能的关系A；
利用
D EK增
=
D EP减或D EK减
=
D EP增
时，会算能量变化。
GG
B
机械能守恒定律应用（二）
机械能守恒+圆周运动的临界问题
例4、如所示，质量为m1的物体A,经一轻质弹簧与下 方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为 k,物体A、B都处于静止状态.一不可伸长的轻绳一端绕 过轻滑轮连接物体，另一端连接一轻挂钩.开始时各段 绳都处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向.现 给挂钩挂一质量为m2的物体C并从静止释放，已知它恰 好能使物体B离开地面但不继续上升.若将物体C换成另 一质量为(m1+m2)的物体D，仍从上述初始位置由静止释 放，则这次物体B刚离地时物体D的速度大小是多少? 已知重力加速度为g.
解：第一次恰能抵达B点，不难看出 v B1=0 由机械能守恒定律
mg h1 =mgR+1/2·mvB12 ∴h1 =R
第二次从B点平抛
R=vB2t
R=1/2·gt 2
h
B
vB2 gR / 2
A O
mg h2 =mgR+1/2·mvB22
h2 =5R/4
h1 ：h2 = 4：5
例题、小球沿光滑斜面由静止从A点开始下 滑，A高为h1=6m,B高h2=1m, 求小球到达B点 时的速率。
例2：在地面以8m/s的初速度抛出一个石块，若初速度 与水平成60°。取g=10m/s2 。
求：1）石块在最高点速度多大？ 石块能达到的最大高度是多少？
2）怎样抛出，能达到的高度最大？
例题3：细绳和小球连在一起，悬挂在O点。已知： 绳长L=0.2m，球质量m=0.2kg，g=10m/s2. 将绳 拉直在水平位置给小球竖直向下的初速度v0=2m/s， 则小球在竖直面内摆动。
求：1）经过最低点时，小球的速度多大？ 2）在最低点时，绳的拉力多大？
解：小球摆动的过程中，机械能守恒：
以最低点为参考平面
在最低点处：
1 2
mv2
1 2
mv02
mgl
解得：v v02 2gl
v2 T - mg = m
l
T = 3mg + mv02 l
例题4：将质量5kg的物体轻放在竖直的轻弹簧上， 物体向下运动到最低点时，下落0.2m的距离。 求：此时的弹簧的弹性势能多大？g=10m/s2
2m (m m )g2
v
11
2
(2m m )k
1
2
图
方法: 研究系统内能量之间的转化
例6
答：（1）3m/s （2）3.2N 方向向下
例 7. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放
在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落
下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自
B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之
比h1：h2= ___4_：__5
方法: 研究系统内能量之间的转化
小球和弹簧系统，机械能守恒：
小球的重力势能减少等于弹簧的弹性势能的增加
mgh = EP - 0
EP = 10J
若地面、小球均与弹簧相连，将弹簧拉长 10cm后由静止释放，当小球将弹簧压缩 10cm时，速度多大？
例题5：将质量2kg的物体连在轻弹簧上，弹簧 另一端固定在天花板上，将物体拉到水平位置， 使弹簧恰无伸长。现在释放物体，当向下运动到 最低点时，下落0.6m的距离，弹性势能为2J。 求：此时物体的速度多大？
机械能守恒求解：
小球从A到B过程中机械能守恒。
以斜面底面为参考平面。
E1 = mgh1
E2
=
1 mv 2
2 +mgh2
N
\
mgh1 =
1 2
mv
2
+
mgh2
A
G
\ v = 2g(h1 - h2) 10m / s
B
例题、小球沿光滑斜面由静止开始下滑，A 高为h1=6m,B高h2=1m, 求小球到达斜面底端 时的速率。
（1）确定研究对象，画出过程示意图；
（2）受力分析，做功分析，检验守恒条件； （3）选取参考平面，确定物体初、末状态的机械 能（势能和动能）；
（4）根据机械能守恒定律列方程求解。
例1、质量为4kg的均匀直杆，长为2m，放在 竖直面内的四分之一光滑圆弧上恰如图所示，水 平地面光滑。若由静止释放，求：杆最后在水平 面上运动的速度多大？g=10m/s2
例题1:如图所示,半径为r,质量不计的圆盘与地 面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固 定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的 小球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质 量也为m的小球B.放开盘让其自由转动,问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？ （2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向
的最大角度是多少？
A
B
例2;如图：两等长的杆固定连接，在O处穿过一光滑 水平固定转轴，杆两端AB物体质量为M、2M，从 图示位置由静止释放，求：转动中两球的最大速 度.杆长为L。
o 30°
例题3：质量均为m的A、B物块，用轻弹簧连接在一起， 竖直放置静止，如图所示。A物体连接一轻绳，绕过定 滑轮与一个不计质量的挂钩相连，绳恰拉直。现将一 个2m的物块C挂在挂钩上，由静止释放，若弹簧劲度系 数为k，则当物块B恰要离地时，物块c的速度多大？
机械能守恒定律应用（一）
单物体运动
复习： 1、机械能：定义、注意的问题 2、机械能守恒定律：
条件： 单体机械能守恒定律表达式： 一：研究物体的初末状态：
Ek1 E p1 Ek 2 E p2 注意零势面
二、研究物体的能量转化过程：
D EK增 = D EP减或 錎 E减 = 錎பைடு நூலகம்E增
应用机械能守恒定律解题的一般步骤：
B
V0
A甲
a
b
c
d
例4：如图：
ACD
例5. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点 的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小 球A与O同水平面无初速释放，绳长为L，绳的 最大承受能力为9mg。为使球能绕B点做完整的 圆周运动，试求d的取值范围？
A
LO
Dd
B
C
习题课
机械能守恒+极值讨论 机械能守恒+弹簧+恰要分离
例题1:如图，竖直面内的光滑轨道，底部水平半圆
部分的半径为R=2m，球质量m=2kg，g=10m/s2.
求：给小球多大的初速度，小球可以恰好通过轨道
的最高点？
10m/s
在一过程中，使用机械能守恒定律， 建立两个位置间速度关系 ；
在一个位置处，使用向心力公式， 建立力与速度的关系
V0
例2、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固 定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转 到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小
速度v= 4.8gl。
解：系统的机械能守恒，
因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，
1
mv2
1
m
v
2
mg
l
mg
2l
2
2 2
O
v 24 gl 4.8gl
5
v
例3：如甲图所示，小球以v0初速度沿光滑的斜面可 以上升到最大高度B处。则在a、b、c、d四个图中， 小球均以相等速度v0切入光滑的轨道，则四个图中， 小球能上升到与B等高处的是__________图。