~ {ε } = {~} − [X ]{θ } y
定义：
总方差（目标函数或评价函数）：E = {ε } {ε } = ∑ ε 2 (k )
T k =1 s
E∈R
(4.2-9)
系统识别的目的是求得一组 {θ}，使{ε}范数最小。
∂E ~ = −2 X ∂{ } θ
~ ~ [ ] {~} + 2[X ] [X ]{θ } y
∑
s
∑
∑
∑
(4.3-11)
第i阶模态固有频率：
ω 0i =
ηi =
ki mi
gi ki
(4.3-12) (4.3-13)
第i阶模态阻尼比：
求振型：
理论模型（主导模态）
H ef (ω ) =
1 1 K efi 1 − Ω i2 + jη i
(4.3-3)
I H ef (Ω i = 1) = −
1
K efiη i
Ωi =
ω ω 0i
ω 0i =
ki mi
K efi =
ki
ϕ ei ϕ fi
（等效刚度）
(4.3-2)
1．不考虑剩余模态的影响
理论模型（主导模态）：
H ef (ω ) =
1 1 K efi 1 − Ω i2 + jη i
(4.3-3) 其Nyquist图是一个圆
I Z ef (ω ) R Z ef (ω )
−1 s ⎫ ⎧ ~R Z ff (ω k ) ⎪ − ⎪ ⎪ ⎪ k =1 ⎬ ⎨ s ~R ⎪ Z (ω )ω 2 ⎪ ff k k ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ k =1
(4.3-9)
⎡ ⎧ ki ⎫ ⎢ s ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪m ⎪ ⎢对称 ⎩ i⎭ ⎢ ⎣
⎤ 2 ωk ⎥ − ⎥ k =1 s ⎥ 4 ωk ⎥ ⎥ k =1 ⎦
x y Σ~k ~k y Σ~k2
~ ⎤ −1 ⎧− Σ~ ~ 2 + ~ 2 xk xk y k Σx k ⎥ ⎪ ~ ⎥ ⎪− Σ~ ~ 2 + ~ 2 Σy k ⎨ y k xk y k ⎥ ⎪ s ⎥ ⎪ − Σ ~k2 + ~k2 x y ⎦ ⎩
(
( (
)
) )
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
LSE (4.3-23)
§4.2 最小二乘法
一、最小二乘估计（LSE） 线性时不变系统：
y = ∑ θ i x i = {x}T { } 输入{x}∈ R n×1 , 输出y ∈ R, 参数 θ ∈ R n×1 θ
i =1 n
(4.2-1)
观测数据 {~(k )}、~ (k ) ， x y k＝1, 2, …, s 理论模型：
H ef (ω ) =
∑ 1− Ω
i =1
U efi + jVefi
2 mi
+ jη mi
=
∑
i =1
n
Refi e
jϕ efi
1 1−
Ω2 mi + jη mi
(4.3-29)
待识别模态参数ωmi（含于Ωmi中）、 ηmi、Uefi、Vefi或ωmi、ηmi、Refi、ϕefi
1．不考虑剩余模态的影响
~
~
LSE
−1 ⎧a ⎫ ⎡ Σ~k2 Σ~k ~k ⎤ ⎧− Σ~k x x x y ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎨ ⎬=⎢ ⎥ ⎨ ⎪b ⎪ ⎢对称 Σ~ 2 ⎥ ⎪− Σ~ yk ⎦ ⎩ yk ⎩ ⎭ ⎣
(~ x (
y2 + ~k ⎫ ⎪ ⎬ ~2 + ~2 ⎪ xk yk ⎭
2 k
)
)
(4.3-37)
[]
[]
T
（s>n）
(4.2-14)
以上讨论均对实数模型而言，若为复数模型，有关 转置符号“T”应换为转置共轭符号“H”。
§4.3 单模态识别之一：最小二乘圆拟合法
常见的单模态识别有三种方法：直接读数法、最小二乘圆拟合法和差分法。 所谓单模态识别法，是指一次只识别一阶模态的模态参数，所用数据为该 阶模态共振频率附近的频响函数值。待识别的该阶模态称为主导模态，余 模态称为剩余模态，剩余模态的影响可以全部忽略或简化处理。 最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用理想导纳圆 去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差最小。 一、实模态系统 结构比例阻尼系统 频响函数模态展式
Y O X O
y x
· O′
ϕefi O0
· B (ωB)
A (ωA) 1(ω1)
α2 α1
M
(a)
1
2 1 − Ω mi + jη mi
M (ωmi) 2(ω2)
的导纳圆
(b) 式(4.3-30)的导纳圆
图4.3-3 不考虑剩余模态时结构阻尼系统的导纳圆
2．考虑剩余模态的影响
(4.3-16)
剩余柔度或剩余导纳
R R 导纳圆方程： (H ef (ω ) − H efc ) 2
⎛ I ⎞ ⎛ 1 1 I ⎟ ⎜ H ef (ω ) + + − H efc = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 K efiη i 2 K efiη i ⎝ ⎠ ⎝
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
(4.3-17)
R I x = H ef (ω ), y = H ef (ω ), ρ = R I x 0 = H efc , y 0 = ρ − H efc
R I x y 测得 H ef (ω k ) = ~k , H ef (ω k ) = ~k (k＝1,2,…,s)
~
~
E=
(~ ∑x
s k =1
2 k
+ ~k + a~k + b~k + c y2 x y ∂E =0 ∂c
)
2
∂E = 0, ∂a
∂E = 0, ∂b
x2 ⎧a ⎫ ⎡ Σ~k ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎨b ⎬ = ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ c ⎪ ⎢对称 ⎩ ⎭ ⎣
~ {~} = [X ]{θ } y
(4.2-4)
~ ~ ~ [X ] {~} = [X ] [X ]{θ } y
T T
(4.2-32)
~ [R ]{θ } = {~} r
(4.2-35)
T
~ [X ] 的相关函数矩阵：
[] [ ][ ]
~ ~ R = X
T
~ X
~ [X ] 与 {~} 的相关函数列阵：~} = [X ] {~} y {r ~ y
Z R (ω ) = k i 1 − Ω i2 = k i − mi ω 2 ff Z I (ω ) = k iη i = g i ff
(
)
(4.3-7) (4.3-8)
~R ~I 测得 Z ff (ω k )、Z ff (ω k ) (k＝1,2,…,s)
LSE
1 gi = s
∑
k =1
s
~I Z ff (ω k )
~ −1 θˆ = X {~} y ~ ~ 另外，当s<n，设 [ X ] 的秩为s，则 [ X ] +为
(4.2-30)
{} [ ]
(4.2-27)
[ ] [ ] [ ][ ]
~ X
+
~T ~ ~ = X ⎛X X ⎜ ⎝
T
⎞ ⎟ ⎠
−1
(4.2-31)
三、最小二乘估计与相关函数矩阵或协方差矩阵的关系
~ ~
[ ]
~ X
+
~ =⎛ X ⎜ ⎝
[ ][ ] [ ]
T
~ ⎞ −1 ~ X ⎟ X ⎠
T
(4.2-29)

因此，
{θ } 的LS估计：
{ } [ ] [ ] [ ] {~} y
~ θˆ = ⎛ X ⎜ ⎝
T
~ ⎞ −1 ~ X ⎟ X ⎠
+
T
（s>n）
(4.2-14)
~ {θ~}= [X ] {~} y ~ [ X ] 为非异方阵，最小二乘法失效， 当
∑
i =1
n
ψ eiψ fi mmi = 2 m Di k mi − ω mmi + jg mi
jϕ efi
∑m
i =1
n
ψ eiψ fi
2 Di ω mi
1 2 1 − Ω mi + jη mi
(4.3-25)
ψ eiψ fi
2 m Di ω mi
= U efi + jVefi = Refi e
n
=−
1
I Z ef
(4.3-14) (4.3-16)
I Z ef (ω ) = K efiη i
测得n个
~I Z ef (ω k )
（k＝1,2,…,s）
1 = s
LSE
I Z ef
∑
k =1
s
~I Z ef (ω k )
(4.3-15)
振型矢量
⎛ 1 ⎜ ⎜ZI ⎝ 1f
1
I Z2 f
1 ⎞ ⎟ L I ⎟ Z nf ⎠
T
上述参数识别方法又称最小二乘阻抗线识别法。
2．考虑剩余模态的影响
H ef (ω ) =
∑k
i =1
n
ϕ ei ϕ fi
i
− ω m i + jη i k i
2
=
∑
i =1
n
1 1 K efi 1 − Ω i2 + jη i
(4.3-1)
考虑剩余模态的 频响函数：
H ef (ω ) =
1 1 R I + H efc + jH efc K efi 1 − Ω i2 + jη i