振动模态分析理论与应用模态参数识别频域法当系统阻尼为比例阻尼或小阻尼时，阻尼矩阵经模态坐标变换后可以对角化，模态参数为实数，频响函数可按实模态展开。

若在p 点激励，在l 点测量，则频响函数可表示为对于粘性阻尼有∑12ωωξ2ωω1)ω(Ni i i i lplp j D H =+=对于结构阻尼有∑12ωω1)ω(Ni i ilp lp jg D H =+=以上两式即为实模态参数识别的基本公式 6.1 实模态识别图解法6.1.1 共振法这是一种经典的模态分析方法，其基本思想是：当激励频率在系统某阶固有频率r ω附近时，该阶模态导纳便起主导作用，其余各阶模态导纳的影响可忽略不计。

即 )ω(≈)ω(lpr lp H H 此时，整个系统等效于一个单自由度系统。

利用幅频特性和相频特性，便可确定系统的模态参数（参看图6-1）。

在待测结构上选择l 个测试点，求其中某点P 对所有各点的位移导纳。

点数l 一般应等于或大于拟选的模态数N （自由度数）。

则p 点对任意点l 的位移导纳可作如下处理：当激振频率在r 阶固有频率附近时有()()2222∞12ωωξ4ωω1≈ωωξ2ωω1)ω(∑++==rrir lp i ii i ilp lp j D j D H因此，测得的幅频曲线)ω(lp H 的第r 个峰值位置（共振频率点），便可近似确定r 阶固有频率r ω。

由r ω两侧半功率带宽，可以确定r 阶模态阻尼比)ω2/Δω(ξr r =。

由r ω处位移有()rrlp rlpD H ξ2)ω(=所以 ()()rlprrlpH D ωξ2= 由因为 ()rprlr rlp kD φφ=故在令pr φ的值等于1（振型中各元素具有确定的比例，其绝对值可认为地指定，不妨取第r 阶振型第p 个元素pr φ的值等于1）时，由原点导纳曲线的峰值可得r 阶模态刚度为)ω(ξ21r pp r r H k =此外，当r ωω=时，l 个导纳的幅值分别为r r pr r r p k H ξ2φφ|)ω(|11= rr prr r p k H ξ2φφ|)ω(|22=rr pr lr r lp k H ξ2φφ|)ω(|=写成矩阵形式=lrr rr r pr r lp r p r p k H H H φφφξ2φ|)ω(||)ω(||)ω(|2121因此，第r 阶振型为{}±±±==|)ω(||)ω(||)ω(|φφφφ2121r lp rpr p lrrrrH H H为表示振型的几何形状，上试中各导纳幅值应考虑其相位，可用正负号表示同相或反相，对于实模态，其振型向量的各分量都是实数，且只有大小和正负之差。

因此，系统作固有振动时，各坐标点同时达到极值，同时通过平衡位置。

用共振法确定模态参数，方法简单直观。

但由于忽略了相邻模态的影响，识别出的模态精度不高，特别是识别振型和阻尼时，可能引起较大的误差。

另外当各阶模态耦合较密时可能识别不出单个模态。

因此这种方法一般只用于对模态的初步分析。

6.1.2分量分析法分量分析法的思想是利用导纳的实频和虚频特性识别出系统的模态参数。

其优点是能考虑其余模态的影响。

系统的位移导纳实部为∑122222)ωω(ξ4]ωω(1[])ωω(1[)ω(Ni ii i ilpi R lp D H =+=导纳虚部为∑12222)ωω(ξ4])ωω(1[ωωξ2)ω(Ni ii i iilpi IlpD H =+= 当激励频率ω在r 附近变化时，如果系统的阻尼较小且模态耦合较轻，则除r 阶模态以外的其余模态导纳在r ω附近可用复常数IcR c c H H H +=表示。

这时（6-6），（6-7）可以写成 R c ii i ilpi R lp H D H ++=22222)ωω(ξ4])ωω(1[])ωω(1[)ω( （6-8）I c ii i iilpi Ilp H D H ++=2222ωω(ξ4])ωω(1[ωωξ2)ω( （6-9）即系统总的导纳在r ω附近的值可以认为是由该处的实频和虚频以及一实常数组成。

在实频和虚频特性上相当于把r 阶导纳的实、虚频特性沿纵轴平移了R c H 和Ic H ，但不影响峰值所对应的频率。

（1） 确定固有频率。

由于R c H 的存在，其实频曲线过零点的频率已不再是r ω，但是Ic H 并不影响虚频特性峰值频率，因此可以利用虚频特性识别出系统的r ω，即导纳虚频特性的各个峰值频率等于系统的各阶固有频率。

证明：式（6-9）中对r ωω求导并令其等于零，有0)ωω(ξ4])ωω(1[ωωξ4ωω31)ωω(12ωω22222222=++=ii i rrrr lpi rI lpD ddH得 33)ξ21()ξ21(ωω2222+±=r r r 当r ξ很小时，r ω≈ω 证毕(2)确定模态阻尼比实频曲线上的两个极值点对应的频率为半功率点频率，利用半功率点频率可以确定系统的阻尼比。

式（6-9）中对r ω求导并令其等于零，则有0})ωω(ξ4])ωω(1{[ξ4])ωω(1[ωω22222222=+=ii i rrlpr rR lpD ddH得r rξ21ωω2= 即r r ξ21ωω2=，r rξ21ωω2+= 两式相减的2222ω4ωωξr ab r= 或 r a b r ω2ωωξ= 若两式相加，2ωωωω22=+ra rb 与上式联立可以求得1ωω1ωωωωωωξ2222+=+=abab ab a b r（3）模态刚度。

当r ωω→时，式（11）变成rr lrpr r lpr I lpk D H 2222ξφφξ==（20）若 l=p则rr prpr r ppr I ppk D H 2222ξφφξ==（21）在模态矩阵中各元素为相对值，按pr φ归一化处理，的rr I pp k H 221ξ=所以I pprr Hk 2ξ21=（22）（4） 振型向量由式（21）知，r k 和r ξ与l,p 无关，即在第r 阶模态振动时，无论在结构何处测试，所得到的r k 和r ξ都相同，因此，Ilp H 只随pr φ，lr φ而变，当l=1，2，…..n 时，有r r pr r r Ipk H ξ2φφ)ω(11= rr pr r r I p k H ξ2φφ)ω(22=rr pr lr r I np k H ξ2φφ)ω(=写成矩阵形式=lrr rr r pr Ir lp r p r p k H H H φφφξ2φ|)ω(||)ω(||)ω(|2121Ir lp r p r p lr r rH H H =|)ω(||)ω(||)ω(|φφφ2121可见，{}pr H 反映了第r 阶振型，只要把该阶固有频率下虚频特性曲线峰值点联结起来即为该阶振型。

（5）模态质量由r r rm k =2ω 得 2r rr k m ω=6.1.3 矢量分析法（导纳圆法）由于共振法和分量分析法存在许多不足，1947年kennedy 和pancu 提出了用导纳圆来识别系统模态参数的方法，这种方法主要是将各阶模态的矢端轨迹绘于复平面上，利用图形的性质来识别各阶模态参数。

作为单自由度识别方法，如前所述，导纳圆法适合于各阶固有频率相离较远，各阶相邻模态简影响较少，相对于主导模态可以忽略不计的情况。

在这种情况下，系统的模态圆是一组各自较为完整的圆，每一个圆取决于相应的某一阶模态参数。

由于模态试验存在传感器、放大器、激振器和信号截取所带来的误差，所以，模态试验得到的是频响函数的估值。

模态圆拟合法的任务，在于利用测试数据拟合出比较准确的各阶模态圆。

考虑其余模态影响后，结构阻尼系统的实、虚频特性在r ω附近可以表示为R c r iilpi R lp H g D H ++--=2222])(1[](1[)(ωωωωω （6-27）I c i iiilpi I lp H g D H ++--=222])(1[)(ωωωωξω （6-28）平方相加并整理得2222()2()(rlpr rlpr I c I lp R c R lp g D g D H H H H =+-+- （6-29）简写成22020)()(R y y x x =-+- （6-29a ）这是一个标准圆的方程，圆心坐标为（rlpr Ic R c g D H H 2,-），半径为r lpr g D 2，可见相邻模态只影响圆心的位置，对于导纳半径没有影响，因此导纳圆半径能排除相邻模态的影响。

导纳圆法识别模态参数步骤如下：1 测试系统频响函数值H(ω)，得到频响函数的实部和虚部，用x k 和y k 表示。

Xk 和yk （k=1,2,…,n ）对应于ω=ωk 时采样的结果。

2 对应于方程（6-29a ），寻找定值参数x0，y0，R 。

即，将x k 和y k 代入（6-29a ），由于一方面测试点x k 和y k 不一定刚好在圆上，另一方面测试点的个数一般大于待求参数的个数。

即，将x k 和y k 代入方程（6-29a ）后有22020)()(R y y x x k k ≠-+-及220202220220221201201)()()()()()(nn n R y y x x R y y x x R y y x x =-+-=-+-=-+-（6－30）当22R R k =，且采样测试点数n 等于方程中待求参数的个数3时，可以直接求解方程（6－30）得到参数x0,y0和R 。

一般情况下22R R k ≠，且采样测试点的个数n 大于待求参数的个数3，即n>3。

需要利用全部的测试数据获得待求参数的最可靠的估计值。

令cby ax y x R y y x x R R e k k k k k k k k ++++=--+-=-=222202022)()( （6－31）式中：22020,02,02R y x c y b x a -+=-=-=利用固有频率附近的全部测试点数据误差的平方和作为目标函数E ，使E 达到最小时得到的x0,y0和R 是最优参数。

∑∑==++++==nk k k k k nk k c by ax y x e E 122212)( （6－32）N 是测试点的个数要使目标函数E 最小，必须满足下列关系0,0,0=∂∂=∂∂=∂∂cEbEa E将式（6－32）代入后得到下列方程组01)(20)(20)(2122122122=⨯++++=++++=++++∑∑∑===nk k k k k nk k k k k k nk k k k k k c by ax y x y c by ax y x x c by ax y x写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑)()()(22322322k k k k k k k k kk k k k k kk kk y x y y x y x x c b a n yx yx y x x y x x （6－33）求出系数a,b,c 得到拟合圆的圆心坐标和半径。