用样本的频率分布估计总体分布（一）班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1．下列说法中错误的是()①用样本的频率分布估计总体频率分布的过程中，样本容量越大，估计越精确；②一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40，0.125，则n的值为240；③频率分布直方图中，小长方形的高等于该小组的频率；④将频率分布直方图中各小长方形上端的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率分布折线图；⑤每一个总体都有一条总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．A．①③B．②③④C．②③④⑤D．①②③④⑤解析：选C.样本越多往往越接近于总体，所以①正确；②中n＝40÷0.125＝320；③中频率分布直方图中，小长方形的高等于该小组的频率÷组距；④中应将频率分布直方图中各小长方形上端的中点顺次连接起来得到频率分布折线图；⑤中有一些总体不存在总体密度曲线，如“掷硬币”这样的离散型总体(结果是固定的，只有正面和反面两种可能，且可能性相等)，故②③④⑤错误．2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4解析：选C.由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C.3．在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的14，已知样本容量是80，则该组的频数为()A．20 B．16C．30 D．35解析：选B.设该组的频数为x，则其他组的频数之和为4x，由样本容量是80，得x＋4x＝80，解得x ＝16，即该组的频数为16，故选B.4．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是()A．12 B．18C．25 D．90解析：选D.净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.5．对于向量a，b，c和实数 ，下列命题中正确的是（）A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若0a λ=，则0λ=或0a =C ．若22a b =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于A 中，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，所以不正确； 对于B 中，若0a λ=，则0λ=或0a =是正确的；对于C 中，若22a b =，则a b =，不能得到a b =或a b =-，所以不正确；对于D 中，若a b a c ⋅=⋅，则()0a b c -=，不一定得到b c =，可能是()a b c ⊥-，所以不正确，综上可知，故选B.6．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒ B ．120︒ C ．30 D ．90︒【答案】B【解析】22222121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+022cos 603,||3a =+⨯=∴=22222121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+ 054cos 603,||3b =-⨯==，1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-2201122321cos602e e e e =-⋅-=--=-，设,a b 的夹角为1,cos 2||||a b a b θθ⋅==-，20,3πθπθ≤≤∴=. 故选:B,7．设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A B ．52+ C ．174D ．94【答案】B【解析】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ= ∴3πθ=， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y ==而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值故2(21,23)c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥- ∴(21)(2)(23)0x x y y --+=，即223(21)(2)0y x x -+--= 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥523523x -+≤≤∴c b ⋅的最大值为532故选：B8．在ABC ∆中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1D ．-2【答案】C【解析】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y ⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-． 故选：C ．二、填空题9．某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[40，45)(百元)月工资收入段应抽出________人．解析：月工资收入在[40，45)(百元)段的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.05×2)×5＝0.15，则[40，45)(百元)月工资收入段的总人数为0.15×1 000＝150，现用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[40，45)(百元)月工资收入段应抽出150×1001 000＝15(人)．答案：1510．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析：底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案：24 11．为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a ，视力在4.5到5.2之间的学生数为b ，则a ＝________，b ＝________．解析：由频率分布直方图知组距为0.1，由前4组频数之和为40，后6组频数之和为87，知第4组频数为40＋87－100＝27，即4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率a ＝0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1－0.03－0.01＝0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生数b ＝0.96×100＝96.答案：0.27 9612．已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=___________.【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅.由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.三、解答题13．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？解：(1)x ＝[1－(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋0.005＋0.002 5)×20]÷20＝0.007 5. (2)由频率分布直方图知，月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的共有[(0.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5)×20]×100＝55(户)，其中在[220，240)中的有0.012 5×20×100＝25(户)，因此，在所抽取的11户居民中，月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取2555×11＝5(户)．14．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos 2sin )2CC ，，且m n ⊥． （1）求角C ； （2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 【答案】（1）60C =︒；（23. 【解析】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=， 222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=-()2222314442a b c c sinC cRcR R -=====．。