第三篇 波动和波动光学第九章 振动和波动基础 思考题9-1 符合什么规律的运动是简谐振动、简谐振动的特征量由什么决定？答：某一物理量在某一量值值附近随时间作周期性往复变化的运动是简谐运动, 或者是描述系统的物理量ψ遵从微分方程ψωψ222-=dtd , 则该系统的运动就是简谐运动. 其特征量为振幅(由初始状态决定),频率(由做简谐振动系统的物理性质决定),初相位（由振动的初始状态决定）.9-2 说明下列运动是不是谐振动： （1）完全弹性球在硬地面上的跳动； （2）活塞的往复运动；（3）如本问题图所示，一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球所经过的弧线很短）；（4）竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动；（5）一质点做匀速圆周运动，它在直径上的投影点的运动。

（6）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。

答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角位移）成正比而反向。

从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动。

所以： （1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征。

（2）不是简谐振动。

活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。

（3）是简谐振动。

小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。

（4）是简谐振动。

（5）是简谐振动。

因为投影点的方程符合物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化（6）是简谐振动。

小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。

9-3 一弹簧振子由最左位置开始摆向右方，在最左端相位是多少？过中点、达右端、再回中点、返回左端等各处的相位是多少？初相位呢？若过中点向左运动的时刻开始计时，再回答以上各问。

答：在最左端相位是π思考题 9-2 图9-4 同一弹簧振子，当它在光滑水平面上做一维谐振动和它在竖直悬挂情况下做谐振动，振动频率是否相同？如果它放在光滑斜面上，它是否还做谐振动，振动频率是否改变？如果把它拿到月球上，由频率有什么变化？9-5 做谐振动的弹簧振子，当其（1）通过平衡位置时；（2）达到最大位移时；速度、加速度、动能、弹性势能中，哪几个达到最大值，哪几个为零？答: (1)当弹簧振子通过平衡位置时, 速度和动能达到最大, 加速度和弹性势能为零. (2) 达到最大位移时, 加速度和弹性势能最大, 速度和动能达到最大.9-6 受迫振动的频率与强迫力的频率相同，相位是否相同？从相位看，共振应发生在何值？9-7 什么是波动？振动和波动有什么区别和联系？波动曲线与振动曲线有什么不同？ 答：波动是振动状态的传播过程, 波动的产生要有激发波动的振动系统, 既波源, 振动是原因, 波动是结果. 波传播过程中各点的振动频率都应与波源频率相同. 振动具有一定的能量, 波动过程伴随能量的传播. 波动曲线是一个点自波源由近及远传播, 振动曲线是表示一个点在最大位移处与平衡位置处的振动. 波动曲线的横轴为波传播的位移, 振动曲线横轴为振动的时间.9-8 试判断下面几种说法，哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）机械振动一定能产生机械波；（2）质点振动的速度和波的传播速度是相等的； （3）质点振动的周期和波的周期数值是相等的； （4）波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上。

答：(1)错误, 还需要弹性媒质(2)错误, 波动的速度由媒质的性质决定, 两者没有必然的联系. (3)对 (4) 不一定9-9 什么是波长、波的周期和频率、波速？它们之间有什么关系？它们各由什么决定？9-10 波动方程 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=φωv x t A y cos 中 v x表示什么？如果把它写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=φωωv x t A y cos ，则t x ω又表示什么？答：υx 表示振动状态从振源传播到某点需要的时间. υωx表示振动状态从振源传播到某点相位的变化.9-11 关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一致： （1）同一波线上，相位差为2π 的两个振动质点之间的距离； （2）在同一个周期内，振动所传播的距离；（3）横波的两个相邻波峰（或波谷）之间的距离；纵波的两个相邻密部（或疏部）对应点之间的距离。

答：三种说法一致（1）首先用波函数)2cos(),(φλπω+-=xt A t x y 来分析，同一波上两质点1x ，2x 其相位分别为φλπωϕ+-=112x t ，φλπωϕ+-=222x t , 所以相位差为π2即121=-λx x 的两质点间的距离为λ。

（2）在一个周期，振动的质点其位相差为π2和（1）一致；（3）中只要将某时刻的波形图作出，很显然，相邻的波峰（谷），纵波的相邻密部（疏部）对应点其相位差为π2，和（1）（3）是一致的；9-12 试讨论波动能量的传输过程；比较波动能量与振动能量。

答：由于波动中，传播出去的是介质质元的振动状态和能量，但质量元并未传播出去，而是在各自的平衡位置做往复的振动，由于介质质量元之间的弹性相互作用，质元振动状态和能量才能传播出去。

也正是由于介质元之间的相互作用使它们不是孤立系统，因而其振动能量特征与孤立谐振子的振动能量不同。

振动能量是振动系统的机械能，对于简谐振动，振动能量221kA E E E P k =+=，是个恒量。

波的能量是指介质元振动时的动能与因形变而具有的势能之和。

动能和势能随时间和位置作同步的周期性的变化。

波的能量在介质中是连续分布的。

因而用能量密度(单位体积介质具有的能量)来反映能量的分布。

能量密度随时间和位置周期性变化说明能量是随着波的传播而传播的。

9-13 振荡电偶极子辐射的电磁波有什么特点？直线型振荡电路有什么优点？9-14 产生波的干涉的条件是什么？两波源发出振动方向相同、频率相同的波，当它们在空中相遇时，是否一定发生干涉？为什么？两相干波在空间某点相遇，该点的振幅如果不是最大值，是否一定是最小值？答：波的相干条件是频率相同、振动方向相同和相位差恒定。

两波源发出振动方向相同、频率相同的波，在空间相遇时不一定发生干涉现象。

因为(1)两列波在相遇点引起的振动的相位差不能保持恒定时，相遇区域没有稳定的强弱分布。

不发生干涉现象；(2)若两列波振幅差别很大，相遇区域强弱分布不显著，也观察不到干涉现象。

9-15 如果两波源所发出的波振动方向相同、频率不同，则它们在空间相遇叠加时，两波在相遇点的相位差与哪些因素有关？叠加后空间各点的振幅是否稳定？9-16 驻波中各质元的相位有什么关系？为什么说相位没有传播？在驻波中任意两相邻波节之间各点振动的振幅、频率、相位是否相同？在一波节两边的点又如何？ 答：驻波中，相邻两波节间各质元的振动相位相同，同一个波节两侧各质元振动的相位相反。

驻波实际上是一种分段振动现象。

驻波不象行波那样沿波线后一质元重复前一质元的振动，所以驻波的相位不向前传播。

驻波和行波有什么区别？驻波中各质元的位相有什么关系？为什么说位相没有传播？驻波中各质元的能量是如何变化的？为什么说能量没有传播？驻波的波形有何特点？ 解 行波是振动在媒质中传播，波的传播过程有波形、位相及能量的传播。

驻波的特征如下：（1）波形驻定，位移恒为零的点是波节；位移恒最大处是波腹。

相邻两波节（或波腹）之间的距离等于2/λ。

没有波形的传播。

（2）位相驻定，相邻两波节之间的质点的振动位相相同——同起同落；一个波节两侧的质点的振动位相相反——此起彼落。

故没有位相的传播。

（3）驻波的能量被限制在波节和波腹之间长度为4/λ的小区段中，动能和势能相互转化，其总量守恒，因此能量没有传播。

9-17 如何理解“半波损失”？答：当波从波疏介质射入波密介质，在介面上发生反射时，就会产生π的相位突变，由于位相差与波程差的关系为λδπϕ2=∆，πϕ=∆意味着波程相差2λ，即波在反射点处，如同多或少传播了半个波长的距离，这就是为什么称这种相位突变为半波损失的原因。

习 题9-1 质量为10×10－3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ328cos 1.0t x 的规律做振动。

式中t 以秒计，x 以米计。

（1）求：振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度和加速度的最大值。

（2）求：最大回复力、振动总能量、平均动能和平均势能。

（3）t =1、2、5、10s 等各时刻的周相各是多少？ （4）分别画出这振动的x -t 、v -t 和a -t 图线。

解:(1)18-=s πω , s T 25.02==ωπ, m A 1.0= , πφ320=()πππ328sin 1.08+⨯-=t v ⇒ 1max512.21.08-=⨯=ms v π ()πππ3228cos 1.064+⨯-=t a ⇒ 22max 1.631.064-=⨯=msa π （2）232))328sin(8.0(10102121πππ+⨯⨯⨯==-t mv E k232max max )8.0(10102121π⨯⨯⨯===-kA E E P k 2)8.0(1.0π⨯=⇒k 222))328cos(1.0()8.0(1.02121πππ+⨯⨯⨯==∴t kx E P最大回复力kx F -=N kx F 063.01.0)8.0(1.02max max =⨯⨯-=-=⇒π总能量22321016.3)8.0(10102121--⨯=⨯⨯⨯==+=πkA E E E P k)(sin 21222ϕ+=t A m E ωωk222k k 00111dt sin ()dt 2T T E E m A t T T ωωϕ==⋅+⎰⎰2241A m ω=J 221058.1)1.0(41-⨯=⨯⨯⨯⨯=23-)(81010π 2p p 00111d d 2T T E E t kx t T T ==⎰⎰⎰+=T dt t kA T 022)(cos 211ϕω⎰+⋅=T dt t T kA 022)(cos 121ϕωJ k 221058.121-⨯===E kA (3) 328ππφ+=t ∴πππφ3263281=+= πππφ35032162=+=πππφ312232405=+= πππφ3242328010=+=9-2 一个沿OX 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示。

如果在t =0时，质点状态分别为： （1）A x -=0；（2）过平衡位置向正方向运动；（3）过2Ax =处向负方向运动； （4）过2Ax -=处向正方向运动；试求出相应的初相之值，并写出振动方程。

解: 其振动方程为)2cos(φπ+=t TA x 在0=t 时, 质点状态为(1) A x -=0, 则φcos A A =-, πφ= ,)2cos(ππ+=t TA x ; (2)过平衡位置时, 00=x , 则0cos =φA , 2/πφ=或者2/3πφ=, 因为其向正方向运动, ∴ 0>v , 0sin >-==φA x v , 2/3πφ=或者2/πφ-=, )232cos(ππ+=t T A x 或者 )22cos(ππ-=t T A x(3) 过20A x =时, φcos 2A A=, 3/πφ=或者3/5πφ=. 因为向负方向运动,∴ 0<v , 可以得到3/πφ=满足条件, )32cos(ππ+=t T A x ;(4) 过20A x -=处, φcos 2A A=-, 3/2πφ=或者3/4πφ=, 因为其向正方向运动,∴ 0>v ,可以得到3/4πφ=满足条件, )342cos(ππ+=t T A x .9-3 如图所示，弹簧振子水平放置，弹簧的劲度系数为k ，振子质量为m 。