f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛；
g g （2） ( x , y ) 关于 x 单调，即对于 y 0 [ c , d ] ， ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g （3） ( x , y ) 一致有界，即存在常数
y [ c , d ] ，恒有 g ( x , y ) L.

A
f ( x, y )dx .
f ( x , y ) d x于奇点a 关于 y 在 [ c , d ] 一致收敛， ba 如果 0 ， 0 2 ）， ( a , a ) ， y [ c , d ] （
a
（2）I ( y )

L
，使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
定理15.2.3 （Dirichlet判别法）如果 x [ a , )， 满足以下三条件: （1） a
A

ห้องสมุดไป่ตู้

b
恒有
a a
f ( x, y )dx
. 在[c, d ]
I （3） ( y )


b a
f ( x , y ) d x 若有多个奇点，它称为关于y
[ c , d ] 一致收敛.
一致收敛，如果它于每个奇点在
二、一致收敛的判别法 定理15.2.1(Cauchy收敛原理)含参反常积分 a
以下三条件:
（1） a

f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛；
g g （2） ( x , y ) 关于 x 单调，即对于 y 0 [ c , d ] ， ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g （3） ( x , y ) 一致有界，即存在常数
y [ c , d ] ，恒有 g ( x , y ) L.

co s x x
p
2
dx
关于p 在 ( 1,1) 上内闭一致
0
证明
作业：P392 5题～10题

L
，使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
g 定理15.2.3 （Abel判别法）如果 f ( x , y ) ， ( x , y ) 满足
以下三条件:
（1） a
例15.2.3 证明含参积分0

e
x
sin x x
d x 关于
在 [0, ) 上
一致收敛.
证明
例15.2.4 证明：积分 F ( s )


se
0
sy
dy
在 [ ,1]（其中
0 1 ）一致收敛，但在 [0,1] 不一致收敛.
证明:
例15.2.5 证明： 收敛.
F (x) ，

（2）反常积分 a
则含参积分 a 证明

F ( x)dx
收敛,
上一致收敛.
f ( x, y )dx 在 [c, d ]
二、一致收敛的判别法
例1 证明: ( s )
一致收敛. 证明:

2
xs x s
2
e
x
dx
1
关于 s 在 [0, ) 上
g 定理15.2.3 （Abel判别法）如果 f ( x , y ) ， ( x , y ) 满足
数学分析III 第35讲
教学内容：含参变量的反常积分
§15.2 含参变量反常积分（第2讲）
一、含参反常积分一致收敛概念（复习）
（1） I ( y ) a
果 0 ， A

f ( x , y ) d x 关于y 在区间 [ c , d ]一致收敛，如
a ， A A ，y [ c , d ] ，恒有
f ( x , y ) d x一致有界，即存在常数 L 0，使得
A [ a , ) ， y [ c , d ]
，恒有 a
A
f ( x, y )dx L
；
g （2） y [ c , d ] ，( x , y ) 关于x 单调；
（3）当
即 0 ， A
在 [ c , d ]上一致收敛，当且仅当 0 ， A
A
'

f ( x, y )dx
0 ， A ' , A A
，
y [c, d ]
，恒有 A
f ( x, y )dx
.
定理15.2.3 （Weierstrass判别法）如果存在函数F ( x ) 使得 （1） x [ a , ) ，y [ c , d ] ，恒有 f ( x , y )
x 时， ( x , y ) 关于 y 在 [ c , d ]上一致趋于0， g
0 ， x A ， y [ c , d ]，恒有 g ( x , y ) .

则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y
在[ c , d ]上一致收敛.