U 则
P
n k 1
Ak


n
P
k 1
Ak
;
（3） P( A) 1 P( A),
（4） 若 AB，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).
第四节：条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称 为 A 对 B 的条件概率，记作 P(A|B).
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念， 应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广 泛。
第二章：随机变量及其分布 1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X 是一个 r.v，x 为一个任意实数，称函数 F(X)=P（X≤x）为 X 的分布函数。X 的分布函数是 F(x)记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就 表示 X 落在区间 （x≤X）。
定义：积事件 事件“事件 A 与事件 B 都发生”为 A 与 B 的积事 件，记为 A∩B 或 AB，用集合表示为 AB={e|e∈A 且 e∈B}。
定义：差事件 称“事件 A 发生而事件 B 不发生,这一事件为事件 A 与事件 B 的差 事件,记为 A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，eB} 。
P(
A
|
B)

PAB PB
而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件 时 A 发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率.
乘法公式： 若 P(B)>0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式：设 A1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间 Ω 的一个划分，且
P（A）=μ（A）/μ（S）
假如样本空间 S 可用
一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S 上随机投掷一点的
含义如前述，则事件 A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把
理解为长度或体积即可.
概率的性质：
U （1）P()=0,
Q
P


m1


m1
P

（2）
Ai , Aj , i, j 1,2,L , n, i j,两两互不相容，
第一章 随机事件和概率
第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S 或 Ω。
四种运算：和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：
1、 设试验 E 是古典概型, 其样本空间 S 由 n 个样本点组成 , 事件 A 由 k 个样本点组成 . 则定义事件 A 的概率为：P(A) ＝k/n＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。
2、 几何概率：设事件 A 是 S 的某个区域，它的面积为 μ(A)，则 向区域 S 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为：
（2）结合律：A∪(∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
（4）德摩根律： A U B A I B AI B AUB
小结：
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容；
第五节 ：若两事件 A、B 满足
P(AB)= P(A) P(B) 则称 A、B 独立，或称 A、B 相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件 A、B、C，若
P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 称事件 A、B、C 相互独立.
定义：互不相容事件或互斥事件 如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB＝Φ ，则称事件 A 与事件 B 是互不相容事件或互斥事件。
定义 6：逆事件/对立事件 称事件“A 不发生”为事件 A 的逆事件，记为 Ā 。A 与 Ā 满足： A∪Ā= S,且 AĀ=Φ。
运算律：
设 A，B，C 为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
四个等式同时 成立,则
第六节：定理 对于 n 重贝努利试验，事件 A 在 n 次试验中出现 k
次的概率为
Pn
(k
)

C
k n
pk
qnk
k 0,1,K , n, q 1 p
总结：
1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系， 在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 请牢固掌握。
若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含 A，记为 BA 或 AB。
若 AB 且 AB 则称事件 A 与事件 B 相等，记为 A＝B。
定义：和事件 “事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件。记为 A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或 e∈B}。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 e 或 ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用 S 或 Ω 表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等
P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B 是任一事件, 则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
贝叶斯公式：设 A1,A2,…,An 是试验 E 的样本空间 Ω 的一个划分，且
P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B 是任一事件且 P(B)>0, 则
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj ) j 1