辨析几何概型疑点及生活中的应用
一、几何概型的定义
1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．
2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ())
()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 二、疑点辨析
1.概率为零的事件不一定是不可能事件
不可能事件的概率一定为零，即若∅=A ，则0)(=A P 。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若0)(=A P ，则不一定有∅=A 。

例如,在几何概率中，设}4:),{(22≤+=Ωy x y x ，}1:),{(22=+=y x y x A .Ω为圆域，而A 为其中一圆周.则 040)(==Ω=π
的面积的面积A A P 。

显然，A 是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周122=+y x 上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若0)(=A P ，则∅=A 。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.
例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.
错解:因为⎪⎩
⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

错解分析：本题误把长度看作几何度量．
正确解法：设三条线段的长度分别为,1,,y x y x --则
⎪⎩
⎪⎨⎧<--<<<<<1101010y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<1010x y x . 在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线1,0,1,0+-====x y y x x 围成如图所示三角形区域G ，每一对()y x ,对应着G 内的点()y x ,，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当
⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+y y x x y x y x 111即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<+->212121y x x y
因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得g 的面积为81,G 的面积为2
1,则P (这三条线段能构成三角形)41G ==的面积的面积g . 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静
在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。

小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。

不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？
利用几何概率可以解释这个问题。

由于指针位于圆周上阴影部分才
能得奖，设圆周周长为100cm ，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm ，
由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为
08.050
2222)(=⨯==圆周长D C A P 即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若 B A ⋅表示事件A 与B 同时发生,则()()()B P A P B A P ⋅=⋅)，设i A ={指针与阴影连续重合i 次}，则
08.0)(1=A P 0064.008.0)(22==A P ，
000512.008.0)(33==A P 00004096.008.0)(4
4==A P
可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。

由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。

所以，这是一个骗人的把戏
.。