浅谈几何概型的分类及应用安阳县第二高级中学分校张兴洲摘要本文先介绍了几何概型的定义，列举出几何概型的分类并对每种分类作详细阐述，通过实际问题，详细表明其各种分类的具体应用及优点．关键词：几何概型；几何度量；测度．Abstractthis article introduced first the geometry generally definition, enumerates the geometry generally classification and makes the detailed elaboration to each kind of classification, through the actual problem, indicates its each kind of classified in detail the concrete application and the merit.Key word: Geometry generally; Geometry measure; Measure.目录正文---------------------------------------------------------------------1 1几何概型的定义---------------------------------------------------------3 1.1几何概型的定义-------------------------------------------------------3 1.2几何概型的两个特点---------------------------------------------------3 1.3几何概型的三个基本性质-----------------------------------------------4 2几何概型的分类和计算---------------------------------------------------3 2.1区间模型——仅涉及一个变量x-----------------------------------------42.1.1测度为长度的几何模型--------------------------------------------32.1.2测度为角度的几何模型--------------------------------------------3 2.2平面模型——涉及两个变量yx,-----------------------------------------3 2.3空间模型——涉及三个变量z,----------------------------------------5yx,3几何概型的应用---------------------------------------------------------3 3.1几何概型在生活中的应用-----------------------------------------------3 3.2几何概型在工业中的应用-----------------------------------------------3 3.3几何概型在教学、解题中的应用-----------------------------------------3 参考文献----------------------------------------------------------------34 致谢-------------------------------------------------------------------361几何概型的定义几何概型是概率与数理统计中最基本的问题之一，因而有必要进行深入探讨和归纳．1.1几何概型的定义设Ω是某个可度量的区域（可以是一维、二维、三维）。

若一个随机试验可归纳为向Ω中随机地投入一点M ，点M 落在Ω中任一点是等可能的，即点M 落在Ω的某一子区域A 内的概率与A 的几何量成正比，而与A 的行政和位置无关，则称这样的概率模型维几何概率概型，简称几何概型．对于几何概型试验，若记“点M 落在A 内”为事件A ，则事件A 的概率公式为P(A)=m(A)/m(Ω),其中m 表示区域的几何度量（可以是长度、面积、体积等）．1.2几何概型的两个特点（1）在一次随即试验中，不同的试验结果（基本事件）有无限多个；（2）每一个基本事件发生的可能性相等．1.3几何概型的三个基本性质（1）对于任何事件A,P(A)≥0;（2）P(Ω)=1；（3）若n A A A 21,两两互不相容，则P ).()()()()(321321n n A P A P A P A P A A A A ++++=++++第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的（由限）可加性．2几何概型的分类和计算由几何概型计算公式P(A)=的测度的测度D d (分母不为0)可知，几何概型的计算与测度即几何度量有直接的关系，而几何度量又可分为长度度量，面积度量，体积度量，角度度量等不同情况，所以根据几何度量的不同可把几何概型分为测度为长度的几何概型，测度为面积的几何概型，测度为体积的几何概型和测度为角度的几何概型．而测度为长度的几何概型和测度为角度的几何概型都只涉及一个变量，称为区间模型；测度为面积的几何概型因涉及两个变量又称为平面模型；测度为体积的几何概型又称为空间模型．2.1区间模型——仅涉及一个变量x2.1.1测度为长度的几何模型例 1 如 图 1，∠AOB =060，OA = 2，OB = 5，在线段 OB 上 任取一点 C ，试求 ：AOC 为钝角三角形的概率 ．解析 先看使AOC 为直角三角形的情况：(1)若∠OCA=090，则 OC=1；(2)若∠OCA=090，则OC=4．如图，21C C 和分别是适合以上两种情况的点C ，它们均在线段OB 上，由题意知，当点C 在线段B C OC 21或内时，AOC 为钝角三角形 ．故D 的测度=OB =5，d 的测度 =B C OC 21+=l+l=2．从而，AOC 为钝角三角形的概率 P=.52点评 对测度为线段长度的问题，在画图分析时要完整地、准确地把握构成所求事件的样本空间所对应的线段，防止遗漏或以偏盖全．例 2 设m 在[o ，5]上随机地取值，求方程有02142=+++m mx x 有实根的概率． 解：一元二次方程02142=+++m mx x 有实数根⇔△=2)214(422--=+-m m m m =(m+1)(m-2)≥o ，则m ≤一1或m ≥2，故所求概率P=[][]535,05,2＝的长度的长度． 2.1.2测度为角度的几何模型例 3 在∆ABC 中，∠B =,600 ∠C =045，高 AE =3，在 ∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于M ，求 BM <l 的概率 ．解析 如图2，射线AM 在∠BAC 内是等可能分布的，当AM 与高AE 重合时，BM =l ，故满足 BM <l 的射线 AM 在 ∠BAE 内．于是D 的测度 =∠BAC=00075)4560(180=+-，d 的测度 =∠BAE =00306090=-，从而P(BM ＜1)=.527530=点评 若将本题 的 “在 ∠BAC 内作射线 AM 交BC 于M ”改为“在线段 BC 上取点M ”，则测度由“角度”变 为线段 的“长度”，所以对于背景相似的问题，要仔细研读，认真辨析，注意区别．例 4 已知等腰三角形ABC ，C ＝090，在直角边BC 上任取一点M ，求CAM ∠＜030的概率．分析 如图，在CB 上取点0M ,使∠CA 0M =030，则区域D 为线段CB 的长，为线段C 0M 的长．解： 在CB 上取点0M 使∠CA 0M =030，设BC ＝a ，则C 0M ＝a BC AC 333333==，故PC(∠CA 0M =030)=33330==a a CB CM ． 例 5 如图 ，以等腰直角A 三角形的直角顶点为圆心作圆，使这个圆与斜边相关，则截得的弦长不小于直角边的概率是多少?解 设等腰直角三角形的直角边长度为1，“以其直角顶点为圆心作圆，这个圆 与斜边相关，截得的弦长不小于直角边”为事件B ．要使这个圆与斜边相关，则此圆半径最短为22，最长为1；要保证事件B 发生，则此圆半径最短为图4中的C N =23)22()21(22=+，最长为1，d 的测度=231-，D 的测度=221-，∴P(B)=263222232221231--+=--=--．2.2平面模型——涉及两个变量y x , 例6在区间(0，1)上随机取两个数u ﹑v 求关于的一元二次方程02=+-u x v x 有实根的概率．分析：设事件A 表示方程02=+-u x v x 有实根，因为u ﹑v 是从(0，1)中任意取的两个数，所以点(u ，v )与正方形D 内的点一一对应，其中D 一{(u ，v )0<v <1，0<u <1}，事件A ＝{(u ，v )v －4u ≥0，(u ，v )∈D)，有利事件A 的样本点区域为图1中阴影部分A ，A ＝{(u ，v )v －4u ≥0，0<v <1，0<u <1}，有P(A)=.81=D A S S例 7从(0，2)中，随地取两个数；两数之和小0.8的概率．分析：设两数分别为x ，y ，则样本空间D ＝{(x,y) 0<x<2，0<y<2}，A 表示两数之和小于0.8，则A ＝{(x,y) x+y ＜0.8, (x,y)∈D}(图2)，P(A)=DA S S =0.08. 例 8 在一张打上方格的纸上投一枚直径为2的硬币，方格边长要多少才能使硬币与线不相交概率小于0.04.分析 如图7，取一个方格，设边长为x ，（x ＞2），当硬币与线不相交是，圆心到线段不超过1，即圆心只能在图中阴影部分内才与边界不相交，设有利事件A ，则P(A)=22)2(x x -＝方格部分阴影部分＜0.04. ∵0＜x ≤2时，硬币必与线相交．∴只需x ＞2时，上式成立，即x x 2-＜.102 ∴当边长x ＜2.5时，才能使硬币与线不相交概率小于0.04．例 9 设点(p ,q)在 p ≤3,q ≤ 3中按均匀分布出现，试求方程01222=+-+q px x 的两根都是实数的概率 ．解析 根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p ，q 的约束条件，进而确定区域的测度，如图3，基本事件总数的区域D 的测度为正方形面积，即D 的测度 =26=36．由方程01222=+-+q px x 的两根都是实数，得0)1(4)2(22≥+--=∆q p ，所以22q p +≥ 1.所以当点(p ，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域d 的测度 =--36＝园正方形S S π所以原方程两根都是实数的概率P=3636π-．点评 本题综合了代数、几何及概率等方面的相关知识，理解和分析时要注意数与形的结合和相互转化 ．例 10 在集合{(x,y)0≤x ≤5，0≤Y ≤4}内任取一个元素，能使0121934≥-+y x 成立的概率是多少?解：如图1，集合{(x,y)0≤z ≤5，0≤y ≤4}为矩形内点的(包括边界)suo 所有点的集合，集合{(x,y)0121934≥-+y x }表示矩形内直线0121934:=-+y x l 上方(包括直线)所有点的集合．故所有概率为103543421＝＝矩形阴影⨯⨯⨯S S例 11 分别在区间「1，6」和「2，4」内任取一实数，依次记为m 和n ，求m ﹥n 的概率．分析 题中涉及两个变量，议题意得到这两个变量的一组约束条件，可以考虑建立平面直角坐标系，转化为与面积有关的几何概型问题．解：由已知得1≤m ≤6,2≤n ≤4,m ＞n.设点P 所在区域坐标为（m ，n ）（m ＞n ），则点P 所在区域为图3中阴影部分，因此所求概率P=535224221=⨯⨯+=）（矩形梯形ABCD EFDC S S 。