A B C D PQ 向量法求空间角1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；D B A（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.（1）求证:AF//平面BCE;（2）求证:平面BCE⊥平面CDE;（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G,==分别为,2AD,FEPD,的中点．PC,PDCB（1）求证://AP平面EFG;（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==.（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6π,求锐二面角1A A C B --的大小.HPGFE DCB6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA P PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG P 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.参考答案1．（1）详见解析；（2）4π 【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，则可表示出),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ρ；设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n =ρ，则02=⋅n ρ，02=⋅n ρ，故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n ρ，转化为两个法向量的夹角，设1n ρ与2n ρ的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n ρρρρθ．即可求出平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=，因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 又DC DQ D =I所以，⊥PQ 平面DCQ ．（2）因为⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量 为)1,0,0(1=n ρ，点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n =ρ，则02=⋅QB n ρ，02=⋅QC n ρ， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ， 故)1,1,0(2=n ρ．设1n ρ与2n ρ的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n ρρρρθ．所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2．（1）60︒; （2）5102; （3）F 是的4等分点，靠近A 点的位置.【解析】试题分析：（1）取中点M ，连接，，由正四棱锥的性质知∠为所求二面角P －－O 的平面角，∠为侧棱与底面所成的角∴∠＝26，设＝a ，则＝22a ，＝23a ，12a , ∠＝3,∠＝60°; （2）依题意连结，，则∥ ，故∠为异面直线与所成的角，由正四棱锥的性质易证⊥平面,故AOE ∆为直角三角形，＝21＝2122DO PO +＝45a ∴∠＝EO AO ＝5102；（3）延长交于N ，取中点G ，连，，，易得⊥平面，故平面⊥平面，而△为正三角形，易证⊥平面，取的中点F,连,则四边形为平行四边形，从而⊥平面, F 是的4等分点，靠近A 点的位置.试题解析：（1）取中点M ，连接，，依条件可知⊥，⊥，则∠为所求二面角P －－O 的平面角 （2分）∵⊥面，∴∠为侧棱与底面所成的角． ∴∠＝26设＝a ，＝22a ，∴ ＝·∠＝23a ， ∠＝MO PO ＝3．∴∠＝60°． （4分）M DB A CO EP（2）连接，， ∵∥，∴∠为异面直线与所成的角． （6分） ∵⊥，⊥，∴⊥平面．又⊂平面， ∴ ⊥． ∵＝21＝2122DO PO +＝45a ， ∴∠＝EO AO ＝5102． （8分）（3）延长交于N ，取中点G ，连，，．∵⊥，⊥，∴⊥平面∴平面⊥平面． （10分）又＝，∠＝60°，∴△为正三角形．∴⊥．又平面 ∩平面＝，∴⊥平面． （12分） ∴F 是的4等分点，靠近A 点的位置 （13分） M D B A CO EPM D B A CO E PN GF考点：立体几何的综合问题3．（1）见解析；（2）见解析；（3）45︒. 【解析】试题分析：（1）取中点P ，连接、，根据中位线定理可知，且且.21DE ，而，且.21DE 则为平行四边形，则，⊄平面，⊂平面，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据⊥平面，，则⊥平面，又⊂平面，根据线面垂直的性质可知DE AF AF CD CD DE D ⊥⊥=I．又，，满足线面垂直的判定定理，证得⊥平面，又，则⊥平面，⊂平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F 为坐标原点，，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系F ﹣．设2，根据线面垂直求出平面的法向量n ，而（0，0，1）为平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为α，根据||cos ||||m n m n α⋅=⋅可求出所求．试题解析：（1）解:取中点P,连结、, ∵F 为的中点,∴,且.21DE又,且.21DE ∴,且,∴为平行四边形,∴又∵AF ⊄平面⊂平面, ∴平面（2）∵△为正三角形,∴AF CD ⊥. ∵⊥平面,∴⊥平面,又⊂平面, ∴⊥.又⊥∩, ∴⊥平面又,∴⊥平面.又∵⊂平面, ∴平面⊥平面（3）法一、由（2）,以F 为坐标原点, 所在的直线分别为轴（如图）,建立空间直角坐标系F —.设2, 则C （0,—1,0）,).2,1,0(,),1,0,3(E B -设(,,)n x y z =v为平面的法向量，300,0,220x y z n CB n CE y z ⎧++=⎪∴⋅=⋅=∴⎨+=⎪⎩v u u u v v u u u v ，令1,则(0,1,1)n =-v显然,)1,0,0(=m 为平面的法向量. 设面与面所成锐二面角为,α则||cos||||m n m n α⋅===⋅∴ο45=α.即平面与平面所成锐二面角为45︒ 法二、延长、,设、交于一点O,连结. 则面EBC I 面DAC CO =.由是EDO ∆的中位线,则AD DO 2=. 在OCD ∆中22OD AD AC ==Q , 060=∠ODC .CD OC ⊥,又DE OC ⊥. OC ∴⊥ 面,ECD 而⊂面,为所求二面角的平面角ECD CE OC ∠∴⊥∴,在Rt EDC ∆中，ED CD =Q ，045=∠∴ECD 即平面与平面所成锐二面角为45︒.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 4．证明见解析 【解析】试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）如图，以D 为原点,以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r为方向向量建立空间直角坐标系,xyz D -则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(A F E G C P .)11,1(),0,1,0(),2,0,2(-=-=-=∴.设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =r0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即⎩⎨⎧=-+=-.0,0z y x y ⎩⎨⎧==∴.0,y z x 令1=x 则(1,0,1)n =r. 1(2)00120,.n AP n AP ⋅=⨯-+⨯+⨯=∴⊥r u u u r r u u u r Q又⊄AP 平面//,AP EFG ∴平面.EFG（2）Θ底面ABCD 是正方形,,DC AD ⊥∴又⊥PD Θ平面ABCD.AD PD ⊥∴又D CD PD =I ,AD ∴⊥平面PCD∴向量是平面PCD 的一个法向量,)0,0,2(=又由（1）知平面EFG 的法向量(1,0,1)n =r.cos ,2||||DA n DA n DA n ⋅∴<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r∴二面角D EF G --的平面角为045.考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）3π. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取1A B 的中点D ，连接，由已知条件推导出⊥平面1A BC ，从而AD BC ⊥，由线面垂直得1AA BC ⊥．由此能证明AB BC ⊥．（Ⅱ）方法一：连接，由已知条件得ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角，由此能求出二面角1A A C B --的大小．解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，设BC a =，则(0,2,0)A ，(0,0,0)B ，(,0,0)C a ，1(0,2,2)A ，(,0,0)BC a =u u u r，1(0,2,2)BA =u u u r ，(,2,0)AC a =-u u u r，1(0,0,2)AA =u u u r，求出平面1A BC的一个法向量1(,,)n x y z =u r ，设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则6πθ=得12121sin 6242AC n AC n a π-===+u u u r u r g u u u r u r，解得2a =，即(2,2,0)AC =-u u u r ，求出平面1A AC 的一个法向量为2(1,1,0)n =u u r，设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α=<>==u r u u ru r u u r g u r u u r ，且(0,)2πα∈， 即可求出锐二面角1A A C B --的大小.试题解析：解（1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ，因1AA AB =，则1AD A B ⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC I 侧面11A ABB 1A B =， 得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. 因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱，则1AA ABC⊥底面，所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A I ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. 6分解法一：连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠ 在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且=2ADC π∠，=6ACD π∠∴AC =过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连DE ，由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD A C ⊥，且AE AD A =I∴ AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角且直角1A AC ∆中：113A A AC AE AC ⋅===，又AD ，=2ADE π∠ ∴sin =AD AED AE ∠==且二面角1A A C B --为锐二面角 ∴ =3AED π∠，即二面角1A A C B --的大小为3π12分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ABC ⊥底面，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则(0,2,0)A ，(0,0,0)B ，(,0,0)C a ，1(0,2,2)A ，(,0,0)BC a =u u u r ，1(0,2,2)BA =u u u r ，(,2,0)AC a =-u u u r，1(0,0,2)AA =u u u r 设平面1A BC 的一个法向量1(,,)n x y z =u r ，由1BC n ⊥u u u r u r ， 11BA n ⊥u u u r u r得：220xa y z =⎧⎨+=⎩ 令1y = ，得 0,1x z ==-，则1(0,1,1)n =-u r 设直线AC 与1A BC 平面所成的角为θ，则6πθ=得111sin 62AC n AC n π⋅===u u u r u r u u u r u r，解得2a =，即(2,2,0)AC =-u u u r 又设平面1A AC 的一个法向量为2n u u r ，同理可得2(1,1,0)n =u u r，设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α⋅=<>==u r u u ru r u u r u r u u r ，且(0,)2πα∈，得 3πα=∴ 锐二面角1A A C B --的大小为3π.考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．6．（1）证明见解析；（2）045 【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：F Q ,G 分别为PB ，BE 的中点，FG ∴P PE .又FG Q ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，FG ∴P 平面PED .（2）解:EA ⊥Q 平面ABCD ，EA P PD ，PD ∴⊥平面.ABCD,AD CD ⊂Q 平面,ABCD PD AD ∴⊥，PD CD ⊥.Q 四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥.以D 为原点,分别以直线,,DA DC DP 为x 轴, y 轴,z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，设 1.EA =2AD PD EA ==Q ,D ∴()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E , (2,2,2)PB =-u u u r ,(0,2,2)PC =-u u u r.F Q ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，F ∴()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1),1(1,0,)2GF =-u u u r ,1(2,0,).2GH =-u u u r（解法一）设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则110GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n , 即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令11y =，得1(0,1,0)=n .设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u ur n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos,n n 1212⋅⋅n n nn 2.所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）（解法二）(0,1,1)(2,0,0)0DH BC ⋅=⋅-=u u u u r u u u r Q ，(0,1,1)(0,2,2)0DH PC ⋅=⋅-=u u u u r u u u r,DH ∴u u u u r是平面PBC 一个法向量.(0,2,0)(1,0,0)0DC FH ⋅=⋅-=u u u r u u u r Q ，1(0,2,0)(1,0,)02DC FG ⋅=⋅-=u u u r u u u r ,DC ∴u u u r是平面平面FGH 一个法向量.cos ,,2DH DC DH DC DH DC ⋅===⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r ∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. （解法三）延长AE 到,Q 使得,AE EQ =连,.PQ BQQP HGFE D C BA2PD EA AQ ==Q ，EA P PD ，∴四边形ADPQ 是平行四边形，.PQ AD P Q 四边形ABCD 是正方形，,.BC AD PQ BC ∴P PF Q ，H 分别为PB ，PC 的中点，,.FH BC FH PQ ∴P P FH Q ⊄平面PED ，PQ ⊂平面PED ， FH ∴P 平面PED . ,,FH FG F FH FG =⊂QI 平面,ADPQ ∴平面FGH P 平面.ADPQ故平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角与二面角D PQ C --相等.,PQ CD PQ PD ⊥⊥Q ,,,PD CD D PD DC =⊂I 平面,PDC PQ ∴⊥平面.PDCPC ⊂Q 平面,,PDC PQ PC ∴⊥DPC ∠是二面角D PQ C --的平面角.,,45.AD PD AD PD DPC =⊥∴∠=︒Q∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4（或45︒）. 考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.。