1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。

由于n ii i nn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1..................1)(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。

又)(x V n 的最高次幂n x 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。

故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj kj ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。

（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i ji k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。

7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--= 因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。

而))()(("21)()(1b x a x f x P x f --=-ξ，b a <<ξ。

故)("max )(8122)("max )(max 22x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤。

14、解：设))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=，kxx g =)(，记)()(1∏=-=nj j n x x x w ，则),()(x w a x f n n =).()('j n n j x w a x f =由差商的性质知[])!1()(1,..,,1)('1)(')('121111-====-===∑∑∑n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n nj j nk jnnj j n n k jnj j k jξ，ξ介于n x x ,...,1之间。

当20-≤≤n k 时，0)()1(=-ξn g ，当1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ，故⎩⎨⎧-=-≤≤=-=--=∑1,,20,0)!1()(1)('111n k a n k n g a x f x nn n nj jk jξ16、解：根据差商与微商的关系，有[]1!7!7!7)(2,...,2,2)7(710===ξf f ，[]0!80!8)(2,...,2,2)8(81===ξf f 。

（13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。

25、解：（1） 右边=[][]dx x S x f x S dx x S x f ba ba ⎰⎰-+-)(")(")("2)(")("2=[]d x x S x f x S x S x S x f x f b a⎰-++-)("2)(")("2)(")(")("2)("222=[]d x x S x f b a⎰-)(")("22=[][]dx x S dx x f baba22)(")("⎰⎰-=左边。

（2）左边=⎰-badx x S x f x S ))(")(")(("=ab x S x f x S ))(')(')(("--dx x S x S x f ba )("))(')('(-⎰ =))(')(')(("))(')(')(("a S a f a Sb S b f b S ---=右边例2.5求满足)()(j j x f x P =（2,1,0=j ）及)(')('11x f x P =的插值多项式及其余项表达式。

解：由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式，由于此多项式通过点（)(,00x f x ），（)(,11x f x ）及（)(,22x f x ），故其形式为[][]))()(())((,,)(,)()(210102100100x x x x x x A x x x x x x x f x x x x f x f x P ---+--+-+=其中A 为待定常数，可由条件)(')('11x f x P =确定，通过计算可得[]))((,,)(),()('21021001101x x x x x x x f x x x x f x f A -----=设)())()(()()()(2210x x x x x x x K x P x f x R ---=-=其中)(x K 为待定函数。

构造)x -(t )x -)(t x -K(x )(t -P(t)-f(t)t)(2210=ϕ。

显然0)(=j x ϕ（j=0,1,2),且0)'(1=x ϕ，0)(=x ϕ，故)(t ϕ在),(b a 内有五个零点。

反复应用Rolle 定理得，)()4(t ϕ在),(b a 内至少有一个零点ξ，故0)(!4)()()4()4(=-=x K fξξϕ，则!4)()()4(ξf x K =，余项表达式为!4/)())()(()(2210)4(x x x x x x f x R ---=ξ ，其中ξ位于210,,x x x 和x 所界定的范围内定理 2.2 设)(n f 在[]b a ,上连续，)()1(x f n +在),(b a 内存在，节点b x x x a n ≤<<<≤...10，)(x L n 是满足条件式),..,1,0()(n j y x L j n ==的插值多项式，则对于任何],[b a x ∈，插值余项)()!1()()()()()1()1(x w n f x L x f x R n n n +++=-=ξ。

其中),(b a ∈ξ且依赖于x，))...()(()(10)1(n n x x x x x x x w ---=+三、例3.5 已知一组实验数据如表所示，求拟合曲线解：在坐标纸上标出所给数据，如图所示，从图中可看到，各点分布在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线。

令xa a x S 101)(+=，这里m=4,n=1,1)(0=x ϕ,xx =)(1ϕ,故8),(400==∑=i i w ϕϕ，22),(),(401001===∑=i i i x w ϕϕϕϕ，74),(2411==∑=i i i x w ϕϕ，47),(40==∑=i i i f w f ϕ，5.145),(41==∑=i i i i f x w f ϕ由式),...,1,0(),(0n k d a k j nj j k==∑=ϕϕ得方程组⎩⎨⎧=+=+5.1457422472281010a a a a ，解得13.1,77.210==a a于是所求拟合曲线为x x S 33.177.2)(*1+=四、1、（1）求积公式中含有三个待定参数，即,,,101A A A -将1)(=x f ，x,2x 分别代入求积公式，并令其左右相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=++---31121110132)(0)(2h A A h A A h hA A A 解得h A A3111==-，h A 340=。

所求公式至少具有2次代数精度。

又由于333)(3)(3h hh h dx x hh +-=⎰- 444)(3)(3h hh h dx x hh+-≠⎰- 故)(3)0(34)(3)(h f hf h f h dx x f hh++-≈⎰-具有三次代数精度。

（2）、求积公式中含有三个待定系数，,,,101A A A -故令公式对1)(=x f ，x,2x 准确成立，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=++---311211101316)(0)(4h A A h A A h hA A A 解得h h h A h A 3431642410-=-=-=，故[])0(34)()(38)(22hf h f h f h dx x f hh-+-≈⎰-。