平面向量典型题型大全平面向量题型1.基本概念判断正误：例2（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ）A ．125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 10．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________：①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 011.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（） A.0PA PB += B.0PCPA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于（ ）A.2B.12C.-3D.－1313.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量FE CB4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6)D.(－2,－6)14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC=+，则 x = ，y =.图215、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =题型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
性质：向量 PA PB PC 、、中三终点AB C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=. 例3（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______123F F F F =++的终点坐标是（4）设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________ 练习1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。
2.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,33.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)题型5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
平面向量数量积坐标表示：1212a b x x y y •=+•的几何意义：数量积•等于的模||a 与在上的投影的积。
向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；②当，同向时，•＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当与反向时，•＝－a b ；当θ为锐角时，•＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；例5（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____ （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ （5）已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值 （6）下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b aa⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
其中正确的是______ 练习1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+， （3）2)(b a -，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，3.已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 4已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a •的值为 ．5. △ABC 中，60,3,2=∠==B BC AB ,则________=•BC AB6、设a 、b 、c 是单位向量且a ·b ＝0则()()a c b c -•-的最小值为( ) （A ）2- （B ）22- （C ）1- (D)12-7、设ABC ∆的三个内角,,A B C 向量(3sin ,sin )A B =m (cos ,3cos )B A =n若1cos()A B =++m n 则C =（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π题型6求向量的夹角非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=； ||||||a b a b •≤例6（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小 练习1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角。
2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。
5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围； （2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。
6．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π题型7.求向量的模 向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。
两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =。
例7、已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____； 1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。
2.设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A（B （C ）（D ）103.若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．11.（全国II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ； （Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．题型8投影问题在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
例：已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______1．，45==，与的夹角32πθ=，则向量在向量上的投影为3．关于..=且≠，有下列几种说法：① )(-⊥； ② ⊥ ；③0).(=- ④在方向上的投影等于c 在方向上的投影 ；⑤a b λ=；⑥c b = 其中正确的个数是 （ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个5．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的投影为________________。
题型9.向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0。
向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x xy y ⇔+=练习1.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ⊥？2.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--题型10平面向量与三角形四心 四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。