据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则：
a=F1(c1,c2,c3,t0) b= F2(c1,c2,c3,t0)
（7）
c= F3(c1,c2,c3,t0)
所以
c1=Φ1(a,b,c,t0)
c2= Φ2(a,b,c,t0)
（8）
c3= Φ3(a,b,c,t0)
将（8）式代入（6）式就可得到拉格朗日表达式
拉格朗日方法的缺点： 不便于研究整个流场的特性。
拉格朗日方法的适用情况： 流体的振动、波动和多相流问题。
2、欧拉法（Eulerian method）
欧拉法着眼于空间点，研究流体质点流经空间各固定 点(空间点)时的运动特性，而不过问这些运动特性由哪 些质点表现出来的；欧拉法又称流场法。
空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。
（2）
因为：
ux
u y
u
z
dx
dt dy
dt dz
dt
x
t y
t z
t
xa, b, c, t ya, b, c, t za, b, c, t
（3）
把（2）式代入（3）式就可得到欧拉法表示的流动 参量表达式。 反之，亦可实现由欧拉法向拉格朗日法的转变。
欧拉法
拉格朗日法
由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t） uy=uy（x,y,z,t） uz=uz（x,y,z,t）
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
由此看来，两种方法具有互换性。因此，都可采用。 采用欧拉法便于直接运用场论分析问题,对加速度，在欧 拉法中它是流速的一阶导数，在拉格朗日法中，是轨迹的 二阶导数，数学处理上欧拉法较方便。所以，采用欧拉法 研究问题。
4、流场分类
第二章 流体运动学、理想流体运动
流体流动的两种分析方法 随体导数 定常与非定常 轨线和流线 一维与多维运动 有旋流动和无旋流动
2.1流体运动的表示方法
•流体的运动要素：凡表征流体运动的各种物理量，如质量、 表面力、速度、加速度、密度、动量、能量等，都称为流体 的运动要素。
•流体运动学：研究流体运动的特性，不涉及作用力；研究运 动要素随时间和空间的变化，并建立它们之间的关系式。
而由拉格朗日法：
ux
u y
u
z
xa,b, c,t
t
ya,b, c,t
t
za,b, c,t
t
x
t y
t z
t
（4） （5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 x=F1(c1,c2,c3,t)
y= F2(c1,c2,c3,t)
z= F3(c1,c2,c3,t)
（6）
c1,c2,c3是积 分积出的常数
（1）三维流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三 维流场（或三维流场）。物理参数场为：
B=B(q1,q2,q3,t) 式中，q1,q2,q3表示曲线坐标系的三个自变量，一般来 说，速度是三个坐标自变量的函数。
V=V (x,y,z,t)
（2）一维流场
B=B(q1, t) 若状态参数、流动参数对于某 两个坐标变化甚微，即
积分可得：x2 y2 c
例：设有一流场，其欧拉法表达式为：
dx x t dt
dy y t dt
dx ux dt
uy
dy dt
uz
dz ห้องสมุดไป่ตู้t
dx ux
dy uy
dz uz
dt
——这就是轨线微分方程式。
例1 定常流动时的流线
流体运动的分速度：
ux ky
求流线。 解：流线方程：
uy kx, uz 0
dx dy dz ux uy uz
将 ux ,uy 代人上式
dx dy ky kx
B 0 q2
B 0 q3
则可将此三维流场简化为一维流场。
（3）非定常流场与定常流场
l A(l)
5、轨线和流线
（1）轨线：某质点在一段时间内所经过的路线。 轨线特点：每个质点都有一个运动轨轨，所以轨线是 一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 轨线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求 出由。欧拉法：
速度为： ux=F1（x,y,z,t） uy=F2（x,y,z,t） uz=F3（x,y,z,t）
说明：x、y、z也是时间t的函数。
同理： p=p（x,y,z,t）
ρ =ρ（x,y,z,t）
因为质点在流场内是连续的，则
ax
dux dt
ux t
ux x
x t
ux y
y t
ux z
z t
同理
ax
ux t
设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：
x f1(a,b, c,t) y f2 (a,b, c,t) z f3(a,b, c,t)
u xi
xi t
fi a,b, c,t
t
axi
2 xi t 2
2 fi a,b, c,t
t 2
速度加速度
说明：
拉格朗日方法的优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体 运动轨迹上各流动参量的变化。
描述流体流动的两种方法
1、拉格朗日法（跟踪法）Lagrangian method
研究确定的流体质点的物理量（运动要素，如位移、速 度、加速度等）随时间的变化规律；如果知道所有流体质 点的运动规律，则整个流体运动的状况也就清楚。
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）
作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
流体质点所在的空间位置 的变化而引起的速度变化 率。
加速度＝当地加速度＋迁移加速度
3、拉格朗日法和欧拉法表达式的转换
拉格朗日法
欧拉法
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（1）
可求出用x，y，z，t 表达的a，b，c的关系式：
a=f1(x,y,z,t) b=f2(x,y,z,t) c=f3(x,y,z,t)
流动分类
按流体的性质分：粘性流体和无粘(理想)流体的流动 可压缩流体和不可压流体的流动
按运动状态分：定常流动和非定常流动 有旋流动和无旋流动 层流和湍流流动 亚音速和超音速流动
按流动空间的自变量数分： 流动参量是一个坐标的函数：一维流动 流动参量是二个坐标的函数：二维流动 流动参量是三个坐标的函数：三维流动
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
随体导数
axi
u xi t
ux
u xi x
uy
u xi y
uz
u xi z
当地加速度
迁移加速度
在一定位置上，流体 质点速度随时间的变 化率。