1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5：x=0，取：x=4.97， xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =e p E μ22= E=pcph =λ nmm m Ec hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=1．3 氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解 根据eV K k 3101-=⋅，,105.123233eV K k kT E -⨯=⋅==有Ec hc 22核μλ=nmm m37.01037.0105.1107.321024.19396=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---这里，利用了eV eV c 962107.3109314⨯=⨯⨯=核μTkc hc Ec hc 2222μμλ==2.1证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：i k ri k re re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇s i n r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：222122)(xxe x ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(x xex e x x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπαω--= 令0 )(1=dxx d ω，得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。

显然不是最大几率的位置。

2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212xx e x x ex x x x dx x d ααααπααααπαω----=---=而 0142 )(321212<-=±=e dx x d x παω可见μωα±=±=1x 是所求几率最大的位置。

#2.7 一粒子在一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=ax ax U x U ,0 ,0)(0运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。

解法一：粒子所满足的S-方程为)()()()(2222x E x x U x dxd ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 21101222ψψψμ=+-a x <<∞- ①Ⅱ：)()(222222x E x dxd ψψμ=- a x a ≤≤- ②Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx d 23303222ψψψμ=+-∞<<x a ③整理后，得Ⅰ： 0)(21201=--''ψμψE U ④ Ⅱ：. 0E2222=+''ψμψ⑤ Ⅲ：0)(23203=--''ψμψE U ⑥ 令 22220212 )(2 E k E U k μμ=-= 则Ⅰ： 01211=-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 02222=-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213=-''ψψk ⑨ 各方程的解为xk x k 3222xk x k 11111Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ由波函数的有限性，有)(0)(31=⇒∞=⇒-∞E A 有限有限ψψ因此xk 3xk 111FeBe -==ψψ由波函数的连续性，有)13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a ()12( Fea k cos D a k sin C ),a ()a ()11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a ()10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232ak 22322222a k 12122a k 211111-----=-⇒'='=+⇒=+=⇒-'=-'+-=⇒-=-ψψψψψψψψ整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得F e k aD k sin k aC k cos k 00F eaD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222ak 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+----解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Be k a k sin k ak cos k 0e a k cos a k sin 00a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e ak 12222ak 222222ak 122a k 1111=--------]a k 2c o s k k 2a k 2s i n)k k [(e ]a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin ek a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0a k cos a k sin e k e k a k sin k ak cos k e a k cos a k sin 0a k sin k a k cos k e 022122122a k 2221222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122ak 2222a k 21a k ak 12222a k 2222a k 1ak 12222a k 222222ak 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==---------=------------------∵ 012≠-a k e∴02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k 即 022)(2122122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。

# 解法二：接（13）式a k sin D k ka k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+=+- a k sin D k ka k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+-=+2cos k 2 2sin )( 02cos 2 2sin ) 1( 0cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos (0)cos sin )(sin cos ()cos sin )(sin cos (0)cos sin (sin cos cos sin sin cos 221221222122212222221222122221222212221222122212221222122212221222122212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k ka k k k a k a k a k k ka k k k a k a k k k a k a k k ka k a k k k a k a k k ka k a k k k a k a k k ka k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k#解法三：(11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=⇒- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=⇒-)a ( k a tgk k )12()10()13()11(122=⇒+-(11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=⇒ (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=⇒令 ，，a k a k 22==ηξ 则)d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或)f ( a U 2)k k (220222122μηξ=+=+ 合并)b ()a (、：k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( )13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ⇒ - +212221222k k k k a k tg -=利用ak tg 1atgk 2a k 2tg 2222-= #解法四：（最简方法-平移坐标轴法）Ⅰ：110122ψψψμE U =+''- （χ≤0） Ⅱ：2222ψψμE =''- （0＜χ＜2a ） Ⅲ：330322ψψψμE U =+''- （χ≥2a ） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--''=+''=--''⇒0)(2020)(232032221201ψμψψμψψμψ E U E E U⎪⎩⎪⎨⎧=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 3213222222220211211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U xk x k xk x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 111132221cos sin -+-++=+=+=ψψψ)(0)(31=⇒∞=⇒-∞E B 有限有限ψψ因此xk x k FeAe 1131 -==∴ψψ由波函数的连续性，有)7(Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2()6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2()5( C k A k ),0()0()4( D A ),0()0(a k 22232ak 2122223221212111--=+⇒=-=-⇒'='=⇒'='=⇒=ψψψψψψψψ(7)代入(6)a k D k ka k C k k a k D a k C 212212222sin 2cos 2cos 2sin +-=+ 利用(4)、(5)，得a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k kk k (0A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [(A a k 2sin D k ka k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 221221222122122122122121222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得两边乘上3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。