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(word完整版)高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理1.01版本定理,公式整理仅用于参考,具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。

蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式:两角和差tan αanα·ta+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta-(1tan βa +(tan α=β)+tan(αcos αosα·s±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(•-•=+和差化积]2β)-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]2β)-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α积化和差β)]-cos(α-β)+[cos(α21-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21=cos αosα·c β)]-sin(α-β)+[sin(α21=cos αosα·s β)]-sin(α+β)+[sin(α21=sin αinα·c倍角公式(部分):很重要!αtan -1αtan 2=tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2=2sin αsinα·=sin2α22222一、函数 函数的特性: 1.有界性:假设函数在D 上有定义,如果存在正数M ,使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。

则称f (x )是D 的有界函数。

如果正数M 不存在,则称这个函数是D 上的无界函数。

2.单调性设f (x )的定义域为D ,区间I D 。

X1,x2∈I ,那么,如果x1<x2,那么就是单调增加函数;如果x1>x2,那么就是单调减少函数。

3.奇偶性如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数,如果f(-x)=-f(x),那就是奇函数。

4.周期性设函数的定义域为D,若存在不为零的数T,使得任一x∈D 有(x±T)∈D,且f(x±T)=f(x)总是成立,就称该函数为周期函数,如sin x,cos x,它们就是以2π为周期的周期函数。

反函数:就是用自变量X来表示原函数Y,如下列式子:原函数f(x)=x+5,它的反函数为x=f(x)-5,也就是f(x)=x-5;复合函数和初等函数:重要!:六个基本初等函数是:幂函数(x a),指数函数(a x),对数函数(log a x,lg x【log10x】,ln x【log e x】),三角函数(sinx,cosx,tanx,ctnx,secx,cscx),反三角函数(常见反三角函数为arcsinx,arccosx,arctanx)复合函数就是初等函数,初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的,分段函数不是初等函数。

二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值,函数极限就是函数无限趋近于一个值,用lim x→x0 f(x)=A如何得知一个函数有极限?算出左极限和右极限。

并且左右极限相等。

极限运算法则lim x →x0 [f (x )±g(x)]=lim x →x0 f (x )±lim x →x0 g (x )=A ±Blim x →x0 [cf (x )]=clim x →x0 f (x )=cAlim x →x0 f (x )·lim x →x0 g (x )=lim x →x0 f (x )·g (x )=A ·B)(lim )(lim)()(lim 000x g x x x f x x x g x f x x →→=→=BA (B ≠0)n 0)](lim [)]([lim A x f x x x f x x n n=→=→n nnA x f x x n f x x =→=→)(lim)(lim 0重要!:两个重要极限 1.夹逼准则如果x n ,y n ,z n 满足x n ≤y n ≤z n那么a x n limz n lim y n lim n n n =∞→=∞→=∞→这就是夹逼准则。

2.1x1x1sin x lim x sin x 0x lim =∞→→或者图 1如图1,∠AOC=x (0<x<2/π),由于|BD|=x ,弧BC=x ,|CA|=tan x 且△OBC 面积<扇形OBC 面积<△AOC 面积,于是有:x x x tan 2121sin 21<< 化简x x tan sinx << 两边同时除以sinx 1sin cosx cos sin 1sin tan sin 1<<<<<<xxx x x x x x x 即即 根据夹逼准则得出10lim sin 0lim cos 0lim =→=→=→x x x x x x 所以1xsinx 0x lim =→3.e x11x lim e x 10x lim xx1=+∞→=+→)(或)((这是标准公式,题目有类似的把它转换成标准公式即可)4.无穷大量和无穷小量(1)性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 (2)性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量 (3)性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1,在自变量变化过程中,函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。

定理2,b 与a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o (a ) 定理3,设a~a’,b~b’,且limb’/a’存在,则lima/b=lima’/b’。

无穷小量的比较:高阶无穷小0a blim=低阶无穷小∞=ablim同阶无穷小0ablim≠=C 等价无穷小1a blim = 其中等价无穷小可运用到极限运算中(加减关系不能用,乘除关系可以用,且x 趋于0)等价公式:当x →0时,sinx~x ,tanx~x , arcsinx~x , arctanx~x ,1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx -1,(a^x )-1~x*lna ((a^x -1)/x~lna), (e^x )-1~x ,ln(1+x)~x ,(1+Bx)a -1~aBx ,[(1+x)1/n ]-1~(1/n )*x ,loga(1+x)~x/lna ,(1+x)a -1~ax(a ≠0), 5.连续定义 设函数f (x )在x 0的某个去心邻域内有定义,若lim(△x →0)△y=0,则称函数f (x )在x0这个点连续。

条件:(1)f (x0)有定义,有数值;(2)lim (x →x0)有极限,(3)且左右极限相等;才连续。

左右连续和左右极限相同,如图:)()(x x lim )()(x x lim 00x f x f x f x f +-=+→=-→就是说只有左右连续相等,且有定义,那么才连续。

(1)间断点根据函数连续的定义,可以分成四个间断点。

可去间断点:左右极限存在且相等,但是却没有定义。

跳跃间断点:左右极限存在却不相等,在该点有(无)定义。

震荡间断点:极限不存在,函数值在几个数之间摇摆。

无穷间断点:在区间内极限区域无穷大。

闭区间连续函数的性质:1、[a,b]区间里连续函数,必定存在最小值和最大值;2、函数f (x )在[a,b]区间连续,则在[a,b]必定有界;3、若函数f(x)在[a,b]连续,且f(a)=A,f(b)=B,又A ≠B ,C 是介于A ,B 的一个值,则必定存在一个点ξ,使得f (ξ)=C ;4、若函数f(x)在[a,b]连续,且f(a),f(b)异号,则一定存在一个x0∈(a ,b ),使得f (x0)=0;三、导数导数的几何意义就是f(x)在x 点函数的切线的斜率;求某一点的导数00)()(lim)('x x x f x f x x x f --→=连续不一定可导,可导一定连续; 导数的求导公式: 1.y=c(c 为常数) y'=0 2.y=x ny'=nx(n-1)3.y=a x y'=a xlnay=e xy'=e xy=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos 2x 8.y=cotx y'=-1/sin 2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x 210.y=arccosx y'=-1/√1-x 2 11.y=arctanx y'=1/1+x 212.y=arccotx y'=-1/1+x 2函数的求导法则:2)]([)]()[()()]'([]')()([)]()[()()]'([)]'()([)]'([)]'([)]'()([x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=+=±=±复合函数求导法则:链式法则:依次循环dxdu·du dy dx dy = 例:111)(')'1()(')(+++=+•==x x x ex f x e x f ex f隐函数求导法: (1)两端同时求导yx dx dy x dx dy y dx dyy x y dxd x dx d dx d y x dx d y x -=-==+=+=+=+220222525)(25222222求导整理 (2)等式两端取对数1.先将等式两边取自然对数;2.对等式两边求导; 参数方程求导法:罗尔定理:[a,b]连续,(a,b)可导,且f(a)=f(b),则有一个数ξ,使得f ’(ξ)=0。

拉格朗日定理:[a,b]连续,(a,b)可导,则(a,b)至少有一点ξ,使得f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)即)ξ(')()(f ab a f b f =-- 罗必塔法则,求极限,如果函数的关系诸如00或者∞∞的未定式,可以直接对分子分母求导运算。

如果是 0·∞时可通过∞=∞=∞·011·0·0来求。

如果是0-0或∞-∞可以通分来求。

函数的单调性和极值:四步走:1.求定义域;2.求导;3.在定义域中求一阶导数为0的点(驻点);4.列表说明单调增减函数的凹凸率,1.求定义域;2.求二阶导;3.求定义域中二阶导为0的点(拐点);4.根据拐点和定义域列表。

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