高等数学公式定理整理1.01 版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。
蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式：两角和差cos(a ® cos a ?cos B sin a ?sin B COS (a - [3 )cos a os a +°s C a in a*s sin( a±3 ) sin a in a±cos a os a ・stan( a + 、(tan a +tan 3 a3)(1-tan a an a ・ tatan( a - | 和差化积3 ) (tan a -tan 3 an 3tan a an a ・ taa^icosgsin a -sin 3= 2cos[ cos a -cos 3= -2sin[(a + 3)in[( a - 3) 2 2(a + 2 3)in [号) cos a + cos 3= 2cos[(a + 2积化和差1 •sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )]1cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )]1sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )]倍角公式(部分)：很重要！sin2 a =22sin a sin a= •(tan a+ cot aocos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2atan2 a=2ta n a 1-tan2a、函数函数的特性：1. 有界性：假设函数在D上有定义，如果存在正数M使得对于任何的x € D都满足|f(x)| < M。
则称f (x)是D的有界函数。
如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。
2. 单调性设f (x)的定义域为D,区间I Do X1, x2 € I，那么，如果x1vx2,那么就是单调增加函数；如果x1>x2,那么就是单调减少函数o3. 奇偶性如果f(-x)=f(x), 那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x) ，那就是奇函数。
4. 周期性设函数的定义域为D若存在不为零的数T,使得任一x € D有(x ± T)€ D且f (x ± T) =f (x )总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x , cos x，它们就是以2 n为周期的周期函数。
反函数：就是用自变量X来表示原函数Y如下列式子:原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f( x)=x-5 ;复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幕函数f x a),指数函数f a x),对数函数f log a x, lg x 【log io x】，In x [log e x】)，三角函数f sinx , cosx, tanx , ctnx , secx , cscx)，反三角函数(常见反三角函数为arcsinx , arccosx , arctanx )复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。
二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用lim x T xo f f x) =A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。
并且左右极限相等。
极限运算法则lim x T x0 [f f x) ±g(x)]=lim x T x0 f f x) ±lim X T x0 g f x) =A± B2.x x那么lim nlimlimY nZ nxna 这就是夹逼准则lim沁或者x 0 xlim sin - 亍1lim x i xo [cf (x ) ]=clim x xo f (x ) =cA limX Txo f (x ) • lim x xo g (x ) =lim x ^xo f (x ) • g (x )=A ・B重要！：两个重要极限1. 夹逼准则如果 X n , y n , Z n 满足 X n W 旳二 Z nlimf ( x )xxog ( x )limf ( x)xx olim=△ (B Zg ( x ) Bxx 0o )limX 。
[f(x)]nlim [ f(x)]xx oA nlim xXnf (n)nAx )xx如图 1, / AOC=x( 0<x<2/ n),由于 |BD|=x ,弧 BC=x, |CA|=ta n x 且厶 OBC 面积v 扇形 OBC 面积<△ AOC 面积，于是有：1 1 1 sinx x tanx2 2 2化简 sinx x tanx所以lim沁x 0 x题目有类似的把它转换成标准公式即可）两边同时除以sinx 1tanx即x cosx 即卩 cosxisin xsin xX 根据夹逼准则得出limcosxsin xlim1lim3・x 0(1lim(1（这是标准公式，x sin x lim1 -cosx 〜(1/2)* (x A 2)〜secx-1,4. 无穷大量和无穷小量(1) 性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 (2) 性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量 (3) 性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1,在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件 是函数可写成常数和无穷小量的和。
定理2， b 与a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o (a )定理 3,设 a 〜a ' ,b 〜b '且 limb ' /存在，则 lima/b=lima ' /b ' 无穷小量的比较：lim b0高阶无穷小alim —低阶无穷小lim — C0同阶无穷小aalim b1等价无穷小a其中等价无穷小可运用到极限运算中(加减关系不能用，乘 除关系可以用，且X 趋于0)等价公式：当 X T 0时，sinx 〜x , tanx 〜x ,arcsinx 〜x ,arctanx〜x ,(a A x) -1〜x*lna ( (a A x-1)/x〜Ina) , ( e A x) -1〜x , ln(1+x)〜x ,(1 +Bx)a-1~aBx ，[(1+x)1/n]-1~( 1/n ) *x，loga(1+x)~x/lna ，(1+x)a-1〜ax(a^ 0),5. 连续定义设函数f (x)在X o的某个去心邻域内有定义，若lim (△ X T0 ) △ y=0,则称函数f (x)在x0这个点连续。
条件：( (1) f (x0)有定义，有数值；(2) lim (x^xO )有极限，( 3)且左右极限相等；才连续。
limf (x) f (x)x x0 左右连续和左右极限相同，如图：limf (x) f (x)x x0就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。
( 1 )间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。
可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。
跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有(无)定义1.y=c(c 为常数)y'=0震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。
1.y=c(c 为常数)y'=0无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。
闭区间连续函数的性质:1、 ［a,b ］区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、 函数f (x )在［a,b ］区间连续，则在［a,b ］必定有界;3、若函数f(x)在［a,b ］连续，且f(a)=A,f(b)=B,又AT, C 是介于A , B 的一个值，则必定存在一个点E,使得 f (E) =C ;4、若函数f(x)在［a,b ］连续，且f(a) , f(b)异号，则一定存在 一个 x0€( a , b )，使得 f (x0 ) =0 ;三、导数导数的几何意义就是f(x)在x 点函数的切线的斜率;连续不一定可导，可导一定连续; 导数的求导公式：求某一点的导数f '(x)limf(x) f(X o )x x o x x o2.y=x n y'=nx (n-1)3.y=a x y'=a xlnaxxy=e y'=ey=lnx y'=1/x5. y=sinx y'=cosx6. y=cosx y'=-sinx27. y=tanx y'=1/cos x28. y=cotx y'=-1/sin x29. y=arcsinx y'=1/ V 1-x10.y=arccosx y'=-1/ V1-x11.y=arctanx y'=1/1+x 12.y=arccotx y'=-1/1+x函数的求导法则:[f(x)g(x)]' [f(x)]' [g(x)]'[f(x)g(x)]' [f(x)]'g(x) f(x)[g(x)][f(x)]'[f(x)]'g(x) f(x)[g(x)]g(x)[g(x)]2复合函数求导法则：f(x) e x1f'(x) e x 1?(x 1)'例:f'(x) e x1链式法则:dy鱼臾依次循环 dx du dx隐函数求导法:(1)两端同时求导x2 y225d / 2 2、d(x y ) 25dx dxd x2 d y225整理dx dx 2x 2y矽0求导dx2y dy 2xdxdy xdx y(2)等式两端取对数1. 先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；参数方程求导法：罗尔定理：［a,b］连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b), 则有一个数E,使得f' ( E )=0。
拉格朗日定理：［a,b］连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点E,使得f(b)-f(a)=f ' ( E )(b-a)即f(bL_L(a) Eb a罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如°或者-的未定式，可以直接对分子分母求导运算。
如果是0时可通过o・0丄1•来求。
如果是0-0如-"以通分来求函数的单调性和极值：四步走： 1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。
二阶导为正数则是凹，为负数则是凸；四、不定积分不定积分和导数是逆运算关系；不定积分求法分三种：直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用一cos2xdx个字母代替变量，女口：cos2xd2x）；第二类换元积分法（当sin 2x c被积函数中有诸如：ax bx这样的根式，可令根式为u，然后依次往下，带入原式）；分部积分法：udv uv vdu五、定积分1. 求定积分上限函数和下限函数上限函数x i2tdt 2x （ X ）'下限函数1x 2tdt [2x （x'）]就是求下限积分时，把符号倒过来变成上限积分；2. 牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数 c ）3. 广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）（1）积分区间的无穷区间 即求广义积分的敛散性，如果aa axdx & xdx lim xdx lim xdxxxe x dx lim e x dx lim [ e x ]0 [ e x 1] 1 0 xx所以这个积分是收敛的；（2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分） 11讨论广义积分当dx 勺敛散性；1x这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f （0）外连续，在f（0）处无定义lim 4 ，所以x=0是被积函数的无穷间断X 0X点；于是:1 1 01 1 -12dx — dx （因为函数—是偶函数） 1 x1 x xxdx如果他们极限存在，则 可以称为收敛，反之,则是发散；如例题:0 1 1 1 lim 2dx lim [ ] 1lim [ 1]x 0 1 x2x 0 x 1x 0所以，该函数是发散的；六、微分方程1. 可分离变量的通解，直接计算2. 齐次方程通解，用u代替址x3. 一阶线性非齐次方程的通解形女口y' p(x)y q(x)备注q(x) 0p(x)dx p(x)dxy e [ q(x)?e c]附：一阶线性齐次方程的通解p(x)dxy e c4. 可降解二阶微分方程通解y'' (x)连续积分两次，注意，要有两个常数c1, c2 y'' (y',x)令y' u，y'' u',依次降阶计算y'' (y',y)令y' u，y'' u dU，依次计算dx5. 二阶线性齐次方程通解形如y'' p(x)y' q(x)y 02r p(x)r q(x) 0参数方程求法 解一元二次方程组，得 r1，r2;如果 r1 ，r2 是不相同的两个实数根(单根)，那么y C1e r1x C2e r2x如果 r1 ，r2 是两个相同的实数根(重根)，那么y (C1 C2x)e rx如果 r1 ，r2 是两个非实数根(共轭复数根)，那么r a biy e ax (C1cosbx C2sinbx)二阶线性非齐次微分方程的通解二阶线性非齐次方程的通解等于 对应二阶线性齐次方程的 通解加上二阶线性废非弃次方程的特解yYy二阶线性非齐次方程的特解： 自由项f(x) P n (X )的特解P n*(x)=x k Q(x)eQ（ x）:看他是多少次的，例如二次就是A X2+B X+C,—次就是Ax+B；A的数值和参数方程的根r对应，如果只有一个数对应（单根），那么k 取1，, 如果是重根（两个数都对应，即r1=r2 ），则k 取2；如果没有相同的，则k 取1；。