高等数学重要定理及公式作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。

因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。

线性代数重要公式1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =*2.矩阵行列式：*11A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(*3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()()(,)()()(,)max(()())r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+4.齐次方程组0=Ax ：非0解⇔线性相关⇔n A R =)(5.非齐次方程组b Ax =：有解⇔⇔=)()(A R A R 线性表出6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1则A 与B 相似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T=则称A与B 合同。

（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。

）7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。

矩阵A 的特征值与A 的主对角元及行列式之间有以下关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑A a n nii n i λλλλ...2111。

上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。

8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。

9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。

任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得AC C AC C T 1-=为对称矩阵。

10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组s ααα...,21化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：111122221111222231111333111122211),(),(...),(),(),(),(..........),(),(),(),(),(),(--------=--=-==s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ再令：i ii ββγ1=则s γγγ...,21是一组与s ααα...,21等价的标准正交向量组。

11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A 满足：E AA A A TT ==则称A 为正交矩阵。

12.设A ，B 为n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得AC C B T=，则称A 与B 合同。

13.用正交变换化二次型为标准型步骤：a) 写出二次型对应的对称矩阵A ；b) 求A 的特征值i λ和特征向量，（0=-A E λ）i α；c) 将特征向量i α正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得i βd) 令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n x x x X ...21 ， []n C βββ,...,21=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y ...21则CY X =，是正交变换，且222221121...),...,,(n n n y y y x x x f λλλ+++=。

14.如果任一非零向量X 都使得二次型0>AX X T，则称之为正定二次型，对应的矩阵A 为正定矩阵。

二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A 的特征值全部为正实数、正惯性指数是n 、矩阵A 与E 合同、矩阵A 的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。

概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率：)()()|(B P AB P B A P =如果(|)()()P A B P A P B =,则A 与B 独立。

2.常用概率公式：()()()()()()()()()(|)()P A B P A P B P A B P A B P AB P A P AB p AB P A B P B ⋃=+-⋂⎧⎪-==-⎨⎪=⎩（对于给定如：A B ⊂这样的条件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）()()()()()()p AB p B p AB p AB p A p AB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩3.全概率公式：1()()(|)niii P A P A P A B ==∑4.贝叶斯公式：1()()()(|)()()(|)i i i i ni jjj p AB p B p B A p B A p B p B p A B ===∑（结合条件概率公式和全概率公式推导而出） 5.几个重要分布：a) 二项分布（n 次重复，伯努利类型）：()(1)n nm n m p A C p p -=-b) 泊松分布：二项分布当m,很大，p很小且np λ=时，{}~(),,0,1,2...!kX p p x k e k k λλλ-===c) 均匀分布：1,~(,),()0,a x b X U a b f x b a otherelse ⎧⎫<<⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭d) 指数分布：,0()0,0x e x f x x λλ-⎧⎫>=⎨⎬≤⎩⎭e)正态分布：22()22~(,),(;,)x X N u f x u μδδδ--=6.随机变量的数字特征：A ）数学期望：存在前提1nii i xp =∑，()x f x dx +∞-∞⎰要绝对可积，那么1()ni i i E x x p ==∑，()()E x x f x dx +∞-∞=⎰；B ）方差：{}222()(())()()()D XE x E x D X E x E x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩C ）期望性质：()()()()()()E C CE cX cE X E X Y E X E Y =⎧⎪=⎨⎪+=+⎩，X ，Y 独立则()()()E XY E X E Y =D ）方差性质：2()0()()()()()2cov(,)D C D cX c D x D X Y D X D Y X Y =⎧⎪=⎨⎪±=+±⎩,若X ，Y 相互独立则()()()D X Y D X D Y ±=+.。

7. 常用分布数字特征：a) (0,1)分布();()(1)E z p D z p p ==-b) b （n ，p ）二项分布();()(1)E z np D z np p ==-c) 泊松分布,(),();!ke E z D z k λλλλ-==d) 均匀分布：[]2(),,(),();212a b b a U a b E z D z +-== e) 指数分布：2,011,(),();0,x e x E z D z otherelse λλλλ-⎧⎫>==⎨⎬⎩⎭f)正态分布：22(,),(),();N E z D z μδμδ==8.协方差： 定义式[][]{}cov(,)()()X Y Ex E x y E y =--计算式cov(,)()()()X Y E xy E x E y =-性 质 ： 1212cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()X Y Y X Y X Y aX bY ab X Y Z Z D Z +=+⎧⎪=⎨⎪=⎩9.相关系数：1;xy ρρ=≤10.几种特殊函数的分布问题：a) 极值分布12max(,),min(,)Z X Y Z X Y ==12()(max(,))(,)()()()()()(min(,))1(min(,))1()()1[1{}][1{}]1[1()][1()]Z x y Z x y F z P X Y z P X z Y z P X z P Y z F z F z F z P X Y z P X Y z P X z P Y z p x z p y z F z F z =≤=≤≤=≤≤==≤=->=->>=--≤-≤=---b ）和的分布：Z=X+Y 分分布函数是`(){}(,);()()(,)()(,)z x y zz zz F z P X Y z f x y dxdy f z F z f z y y dyf z f x z x dx+≤+∞-∞+∞-∞=+≤===-=-⎰⎰⎰⎰一般的X与Y相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μδμδ，则221212~(,)Z X Y N μμδδ=+++，其概率密度公式为：2122211(())2()221211(;,)x f z μμσδμμσδ-+-+++=。

c ）商的分布 XZ Y =分布函数是：/0()()(,)()(,)(,)(,)z x y zz F z P Z z f x y dxdyf z yf zy y dy yf zy y dy y f zy y dy≤+∞+∞-∞-∞=≤==-=⎰⎰⎰⎰⎰11.参数估计：a) 矩估计方法：构造关于参数组成的k 阶原地矩与样本k 阶原点矩之间的等式关系：1211(,,...)n kk n i i x n γθθθ==∑，解此方程组解为12(,,...)k k n x x x θθ=就作为k θ的矩估计。

b ） 极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。

求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的 对数方便运算，即求解如下的似然方程组ln 0,1,2,3...,kLk m θ∂==∂，似然方程组 的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函 数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及的定义式直接求解。

13.矩估计的优良性：若()E θθ=则称θ是θ的无偏估计量，若12,θθ是θ的无偏估计量，且12()()D D θθ≤则称1θ为θ的最小无偏估计量。