题组层级快练(十七)1．(2020·河北武邑中学月考)函数y ＝lnx －x 的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值答案 A解析 y ′＝1x －1＝1－x x (x>0)，由y ′＝0得x ＝1，当0<x<1时，y ′>0，函数是增函数，当x>1时，y ′<0，函数是减函数，所以当x ＝1时，函数y ＝lnx －x 有极大值，没有极小值． 故选A.2．(2020·山东济宁模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导数f ′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 导数的图象看符号，先负后正的分界点为极小值点． 3．(2020·唐山一中模拟)设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则( )A ．x ＝12为f(x)的极大值点B ．x ＝12为f(x)的极小值点C ．x ＝2为f(x)的极大值点D ．x ＝2为f(x)的极小值点答案 D解析 因为f(x)＝2x ＋lnx ，所以f ′(x)＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，且x>0.当x>2时，f ′(x)>0，这时f(x)为增函数；当0<x<2时，f ′(x)<0，这时f(x)为减函数．所以x ＝2为f(x)的极小值点．故选D.4．(2020·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝xe －x ，x ∈[0，4]的最小值为( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2 答案 A解析 f ′(x)＝1－xe x 当x ∈[0，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1，4]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.5．(2020·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．e答案 C解析 f ′(x)＝ae x －cosx ，若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意．故选C.6．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0 答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.7．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图象可能是( )答案 C解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.8．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6答案 A解析 设图象与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，设⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0，可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)．9．若函数f(x)＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2，4]答案 C解析 f ′(x)＝3ax 2－3，当a ≤0时，f ′(x)＜0，f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x)＝3ax 2－3＝3a⎝⎛⎭⎫x ＋1a ⎝⎛⎭⎫x －1a ，f(x)在[－1，1]上为减函数，f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当a>1时，f(x)在⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫－1，－1a ，⎝⎛⎦⎤1a ，1上为增函数，f(－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 10．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2，∵f(x)在x ＝2处有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0（x>2），f ′（x ）>0（x<2）.解得c ＝6.11．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________． 答案 －3解析 令f(x)＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2.令g(x)＝2x ＋1x 2(x>0)，g ′(x)＝2－2x 3>0⇒x>1⇒g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵有唯一零点，∴a ＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x 3－3x 2＋1.求导可知在[－1，1]上，f(x)min ＝f(－1)＝－4，f(x)max ＝f(0)＝1，∴f(x)min ＋f(x)max ＝－3. 12．(2019·河南信阳调研)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f(2)的值为________． 答案 18解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值． 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 3213．(2019·唐山联考)若函数f(x)＝x 2－12lnx ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x －12x ＝4x 2－12x，令f ′(x)＝0，得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍去，则由已知得⎩⎨⎧a －1≥0，a －1<12，a ＋1>12，解得1≤a<32.14．已知函数f(x)＝(x －k)e x . (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．答案 (1)单调递减区间为(－∞，k －1)，单调递增区间为(k －1，＋∞) (2)当k ≤1时，最小值f(0)＝－k ； 当1<k<2时，最小值f(k －1)＝－e k －1； 当k ≥2时，最小值f(1)＝(1－k)e 解析 (1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x)＝0，得x ＝k －1. f(x)与f ′(x)的变化情况如下表：所以f(x)(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k －1]上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.15．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g(x)＝f(x)e x ，讨论g(x)的单调性．答案 (1)a ＝12 (2)g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数解析 (1)对f(x)求导得f ′(x)＝3ax 2＋2x ， 因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0，即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x . g ′(x)＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x(x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x<－4时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－4<x<－1时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数； 当－1<x<0时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当x>0时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数．综上，知g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数． 16．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝xlnx. (1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x －1)，其中a ∈R ，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e 为自然对数的底数)．答案 (1)极小值点为x ＝1e，无极大值点(2)当a ≤1时，g(x)min ＝0；当1<a<2时，g(x)min ＝a －e a －1；当a ≥2时，g(x)min ＝a ＋e －ae 解析 (1)f ′(x)＝lnx ＋1，x>0，由f ′(x)＝0，得x ＝1e.所以f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以x ＝1e是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx －a(x －1)，则g ′(x)＝lnx ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g(x)为减函数，在区间(e a －1，＋∞)上，g(x)为增函数． 当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0. 当1<e a －1<e ，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a －1)＝a －e a －1.当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为递减函数，所以g(x)的最小值为g(e)＝a ＋e －ae.综上，当a ≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a －e a －1；当a ≥2时，g(x)的最小值为a ＋e －ae.17．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 答案 (1)V(r)＝π5(300r －4r 3) r ∈(0，53) (2)r ＝5，h ＝8解析 (1)∵蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又由题得，200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．∴V(r)＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．∵r>0，又∵h>0，∴r<5 3.∴定义域为(0，53)． (2)∵V(r)＝π5(300r －4r 3)，∴V ′(r)＝π5(300－12r 2)．令V ′(r)＝0，得r ＝5或r ＝－5(舍)．当r ∈(0，5)时，V ′(r)>0，∴V(r)在(0，5)上为增函数．当r ∈(5，53)时，V ′(r)<0，∴V(r)在(5，53)上为减函数．∴V(r)在r ＝5处取最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。