近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
１、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射ﻩB、单射而非满射C、一一映射ﻩﻩﻩD、既非单射也非满射２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。
A、2 ﻩﻩﻩB、5 Ｃ、7ﻩﻩﻩﻩD、10３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ）Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。
5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( )A、倍数B、次数Ｃ、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
１、设集合；,则有------－--。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。
3、环得乘法一般不交换。
如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。
4、偶数环就就是-－----－--得子环。
５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。
6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。
7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。
８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。
９、一个除环得中心就就是一个--－－---。
三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分)１、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。
３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么?四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分）1、设就就是群。
证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。
2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。
近世代数模拟试题二一、单项选择题二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。
Ａ、 B、 C、 D、2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法C、G为有理数集合,*为加法Ｄ、Ｇ为有理数集合,*为乘法3、在自然数集Ｎ上，下列哪种运算就就是可结合得?( )A、a＊b=a-bB、a＊b=ｍax{a,b} Ｃ、 a*b=a＋2ｂ D、a＊b=|a-b｜4、设、、就就是三个置换，其中=(1２)（2３)(13),=(24)（１4),＝(13２４）,则=（ )A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元得半群,它( )。
Ａ、不可能就就是群 B、不一定就就是群C、一定就就是群D、就就是交换群二、填空题（本大题共10小题,每空３分,共3０分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----－----－同构。
2、一个有单位元得无零因子----－称为整环。
3、已知群中得元素得阶等于５0,则得阶等于--－－--。
4、ａ得阶若就就是一个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A=｛1、２、3} B={2、5、６} 那么A∩B＝-－－－-。
６、若映射既就就是单射又就就是满射,则称为－----------－--－－-。
7、叫做域得一个代数元，如果存在得－----使得。
8、就就是代数系统得元素,对任何均成立，则称为－--------。
9、有限群得另一定义:一个有乘法得有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-－--－--－-。
1０、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P就就是---－-----－。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共３0分)1、设集合A＝{１,2,3}G就就是A上得置换群,H就就是G得子群,H＝{Ｉ,(1 2)},写出H 得所有陪集。
2、设E就就是所有偶数做成得集合,“”就就是数得乘法，则“”就就是E中得运算，(E,)就就是一个代数系统,问(E，)就就是不就就是群,为什么?3、ａ＝493, ｂ=39１，求(a,b), [a，b] 与ｐ, q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第２小题１5分,共25分)１、若＜G,*>就就是群,则对于任意得a、ｂ∈G,必有惟一得x∈G使得a*x=b。
2、设m就就是一个正整数,利用m定义整数集Z上得二元关系:a〜ｂ当且仅当ｍ︱a–b。
近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群得任何子群一定不就就是( )。
A、2阶B、３阶C、4 阶Ｄ、 6 阶2、设G就就是群,Ｇ有( )个元素，则不能肯定Ｇ就就是交换群。
A、４个B、5个C、6个Ｄ、7个3、有限布尔代数得元素得个数一定等于( )。
A、偶数B、奇数C、4得倍数D、2得正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N,)B、（Ｚ,)C、（{２,3,４,６，12},|(整除关系)) Ｄ、 (Ｐ（A)，)5、设Ｓ3={(1),(１2）,（13)，(23),（123),(１32)},那么,在S３中可以与(12３)交换得所有元素有（）A、(１)，(１２3),（132)B、１2)，(13),(23）ﻫC、(1),(12３) Ｄ、S3中得所有元素二、填空题(本大题共1０小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
１、群得单位元就就是----－--－得,每个元素得逆元素就就是----－-－-得。
２、如果就就是与间得一一映射,就就是得一个元,则--－----－--。
3、区间[1，２］上得运算得单位元就就是－--－---。
４、可换群G中|a|＝6,|ｘ|=８,则｜aｘ｜=——————————。
５、环Ｚ８得零因子有 ------－-－-------－------。
６、一个子群Ｈ得右、左陪集得个数-－--－----－。
7、从同构得观点,每个群只能同构于她／它自己得-－--－----。
8、无零因子环Ｒ中所有非零元得共同得加法阶数称为Ｒ得-------－---。
9、设群中元素得阶为,如果,那么与存在整除关系为--－-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题１0分,共30分)1、用２种颜色得珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同得项链？2、S1，Ｓ2就就是A得子环,则S1∩S2也就就是子环。
S1+S2也就就是子环吗?3、设有置换,。
1、求与;2．确定置换与得奇偶性。
四、证明题(本大题共２小题,第1题10分,第2小题15分,共２５分)1、一个除环Ｒ只有两个理想就就就是零理想与单位理想。
2、M为含幺半群,证明b＝ａ-1得充分必要条件就就是aba＝a与ａb2a=ｅ。
近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共１5分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设集合A中含有５个元素,集合Ｂ中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有（）个元素。
A、2 ﻩﻩﻩＢ、５Ｃ、7ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩD、１０2、设Ａ＝Ｂ＝R(实数集),如果A到Ｂ得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( ）Ａ、满射而非单射ﻩﻩﻩB、单射而非满射C、一一映射ﻩﻩﻩﻩD、既非单射也非满射3、设Ｓ３=｛(１),(12），(1３),(23),(１23)，(132)},那么,在S３中可以与（１２3)交换得所有元素有( )A、(1),(1２3)，(１32）ﻩﻩﻩB、（1２),(13），(23)C、(1),（12３) ﻩﻩﻩﻩD、S3中得所有元素４、设Z１５就就是以１5为模得剩余类加群，那么,Z15得子群共有( )个。
A、2 ﻩﻩﻩﻩB、4C、6 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩＤ、８5、下列集合关于所给得运算不作成环得就就是( ）A、整系数多项式全体Z[x]关于多项式得加法与乘法B、有理数域Ｑ上得ｎ级矩阵全体Mｎ（Q)关于矩阵得加法与乘法C、整数集Z关于数得加法与新给定得乘法“”:ｍ, n∈Z， mn=０Ｄ、整数集Z关于数得加法与新给定得乘法“”：m, n∈Ｚ, mｎ＝1二、填空题（本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6、设“~”就就是集合A得一个关系,如果“~”满足_____＿__＿__，则称“～”就就是A得一个等价关系。
7、设（G，·）就就是一个群,那么,对于a,b∈G，则ａb∈G也就就是G中得可逆元，而且(ab)－１＝＿＿_＿＿______。
8、设σ＝(23）（3５）,τ＝（1243)（235)∈Ｓ５,那么στ=＿__＿_______(表示成若干个没有公共数字得循环置换之积)。
9、如果G就就是一个含有15个元素得群,那么,根据Ｌaｇrange定理知,对于a∈Ｇ,则元素a得阶只可能就就是__＿____＿_＿_。
1０、在3次对称群S3中,设Ｈ＝{(1),(123）,(１32)｝就就是S3得一个不变子群，则商群G／H中得元素(12)H=___＿_______。
11、设Z6＝｛［0］,［1],[2］,[３］,[4］，[5］}就就是以6为模得剩余类环,则Z6中得所有零因子就就是＿___＿______。
1２、设R就就是一个无零因子得环，其特征n就就是一个有限数,那么，n就就是＿___＿_＿____。
1３、设Z［x]就就是整系数多项式环,(ｘ)就就是由多项式x生成得主理想,则(x)＝__＿_______＿___________＿_。
14、设高斯整数环Z[i］=｛a＋bi|a,b∈Z},其中i２＝-1,则Z［i]中得所有单位就就是_＿_______＿__＿_________。
15、有理数域Ｑ上得代数元+在Q上得极小多项式就就是____＿_＿__＿_。
三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共３0分)16、设Z为整数加群,Ｚm为以ｍ为模得剩余类加群,就就是Z到Z m得一个映射,其中：k→［k］，k∈Z,验证:就就是Z到Z m得一个同态满射，并求得同态核Ker。
17、求以６为模得剩余类环Z6＝｛［0],[1],［2］,［3］,[４]，［5］}得所有子环,并说明这些子环都就就是Z６得理想。
1８、试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间得关系,并举例说明唯一分解环未必就就是主理想环。