且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当a ≥ 0，b≥ 0时，这个不等式仍然成立．
【变式训练】
例题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 1 例题的条件变为题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后，请同桌两位同学各取一个等 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 a，b ），按如图
22 6 所示拼接成面积为 a+b 的多边形纸片．
2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将 拼接成面积为 a+b 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 2
设 a 为负数，求证：a
1 ≤ -2． a
变式
3
求函数 f (x) x 1 的值域． x
【知识回顾】
（1）基本不等式语言表述为：两个非负数的几何 平均数不大于它们的算术平均数；
（2）基本不等式中等号成立的条件（当且仅当 a ＝b 时取“＝”）；
2 掉小三角形纸片后，得到面积为 ab 的矩形纸片．
3．合作活动 提炼建模
活动 4 由活动 3 知图 7 右侧矩形纸片面积小于左侧
多边形纸片面积，得 ab a b (a 0，b 0)．当活动 2
2 中两个直角等腰三角形纸片全等时，不等式变为等式．
当 a，b 中有一者为 0 时，不等式
ab ≤ a b 也成 2
立．
4．推理探究 数学应用 【赋值验证】
ab a b ab 2 19 3 5 3 5 15 4 44 4 4 02 0 1
ab 与 a b 的大小关系 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a=b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
【代数推证】
证法
1（比较法）
a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 1 ( a b )2≥ 0，
2
2
当且仅当 a b ，即 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 2（分析法）要证 ab ≤ a b ，只要证 2
2 ab ≤ a b， 只要证0 ≤ a 2 ab b，只要证
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a 物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求 物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？
M
|
l1
|
l2 |
M
|
l1
|
l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先 准备）
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为“所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”．
你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A•
a
•D
b
b
B•
a
•C
S=ab c=2(a+b)
（3）基本不等式的主要变式： a b ≥ 2 ab (a ≥ 0，b ≥ 0)．
（4）课后作业：
5.教学流程图
0≤( a b)2． 因为最后一个不等式成立，所以 ab ≤ a b 2
成立，当且仅当 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 3（综合法）对于正数a，b，有( a b)2 ≥ 0， a 2 ab b ≥ 0，
a b ≥ 2 ab ， a b ≥ ab ． 2
所以，如果 a，b 是正数，那么 ab ≤ a b（当 2