思 考 题1.1 已知某质点的运动方程是r = 3 t i +()29.44t t -j (SI )。

这个质点的速度V = ；加速度a ＝ ；无穷小时间内，它的位移d r =dx i +dy j = 。

dr ，dx 和dy 构成无穷小三角形，令dr ＝ds ，则ds ＝ ；它的速率v=dtds= 。

答：这个质点的速度j t i v )8.94(3-+=；加速度j a 8.9-=； j dt t i dt r d)8.94(3-+=。

dt t ds 2)8.94(9-+=；它的速率2)8.94(9t v -+=。

1.2 在X 、Y 平面上运动的质点，其运动方程为r =10cos5t i +10sin5t j ，t 时刻的速度V= ；速率v= ；加速度a= ；该质点作 运动。

答：t 时刻的速度j t i t v5cos 505sin 50+-=；速率v=50,；加速度)5s i n 5(c o s 250j t i t a+-=；该质点作匀速圆周运动。

1.3 质点沿半径为R 的圆周匀速率运动，每t 秒转一圈，则在2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为( )(A)t R π2,tRπ2 (B)0，tRπ2 (C)0，0 (D)tRπ2,0 答：（B ）1.4 质点作曲线运动，r 是质点的位置矢量，r 是位矢的大小，∆r 是某时间内质点的位移，∆r 是位矢大小的增量，∆s 是同一时间内的路程。

那么( )(A) r r ∆=∆(B) r r ∆=∆(C)r s ∆=∆(D) r s∆=∆答：（D ）1.5 沿曲线运动的物体，以下说法哪种正确：( )(A) 切向加速度必不为零 (B) 法向加速度必不为零(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度为零，所以法向加速度也必为零 (D) 匀速圆周运动的物体是做变加速运动 答：（B ）、（D ）1.6 某质点沿直线运动，其加速度是x a ＝5t -3，那么，下述正确者为：( ) (A) 根据公式t a v x x =，它的速度是t t v x 352-=(B) 不定积分关系dt a v x x ⎰= ，可算得这个质点的速度公式为232335t t v x -= (C) 因为一个导数有无穷多个原函数，按题给条件，无法确定此质点的速度公式 答：（C ）1.7 质量大的物体转动惯量是否一定比质量小的转动惯量大？为什么？ 答：质量大的物体转动惯量不一定比质量小的转动惯量大。

因为计算转动惯量的三个要素是总质量；质量分布；转轴的位置。

所以仅以质量的大小不能说明转动惯量的大小。

1.8 试分析体育项目中前滚翻运动动作应如何运用动量矩守恒定律。

答：刚体的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。

作前滚翻运动动作时应曲卷肢体使转动惯量变小,根据动量矩守恒定律,则能增加前滚翻的角速度。

1.9 相对论中的高速和低速的区分是相对什么而言的？通常提到的高速列车达到正常行驶速度时，其质量的变化是否显着？为什么？答：相对论中的高速和低速的区分是相对光速而言的，接近光速的速度为高速，远小于光速的速度为低速。

在相对论中质量与速度的关系为20)(1c v m m -=，0m 为静止质量，m 是物体相对参照系以速度v 运动时的质量，c 为光速。

高速列车的行驶速度远小于光速，由上式可计算出高速列车达到正常行驶速度时，其质量没有显着的变化。

习 题1.1 一只在星际空间飞行的火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动可以用下述函数表示其中μ是喷出气流相对于火箭体的喷射速度，是一个常量b 是与燃烧速度成正比的一个常量。

（1）求该火箭速度表达式；（2）设μ=3.0×133105.7,10--⨯=s b s m ，并设燃料在120s 内烧完，求t=0和t=120s 时的速度。

（3）求该火箭加速度表达式；（4）求在t=0和t=120s 时的加速度。

解:（1）速度表达式为：)1ln(bt dtdxv --==μ （2）t=0时， v=0. t=120s 时，31091.6⨯=v m/s (3)加速度表达式为：)1(bt bdt dv a -==μ (4)t=0时，2/5.22s m a = t=120s 时，2/225s m a =1.2 一艘正在行驶的电艇，在发动机关闭后，有一个与它速度相反的加速度，其大小与它的速度平方成正比，即2kv dtdv -=。

式中k 为常量。

试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时速度为kx e v v -=0。

其中0v 是发动机关闭时的速度。

证明:由:dt dx v =及2kv dtdv-=可得:2⎪⎭⎫⎝⎛-=dt dx k dt dv ∴ kvdx dx dt dx k dv -=-= ⇒ kdx vdv-= ∴ ⎰⎰-=x vv kdx v dv0 ⇒ kx e v v -=0 得证1.3 在美国费米实验室的质子加速器中，质子沿一半径R ＝2.0 km 的环形真空室作圆周运动，质子速率非常接近光速。

试问：质子向心加速度是重力加速度的几倍? 解:123282105.410210)103(⨯=⨯⨯⨯==gR v g a 倍1.4 一小孩用力F 推地上的木箱，推了一段时间t ，但未推动，求这推力的冲量、木箱既然受了力F 的冲量，为什么动量没变?答：推力的冲量t F I ∆= ，∵∑=0F∴0=∆P1.5 一物体质量为10kg ，受到方向不变的力3040F t =+ (SI 制)作用，试求在开始的两秒内此力的冲量值以及此物体的速度变化值。

解：两秒内冲量的变化值依据 1221)(p p dt t F t t -=⎰有)(140)4030()(22秒牛∙=+=⎰⎰dt t dt t F速度的变化值v ∆由v m p p dt t F t t ∆=-=⎰1221)(有140=10v ∆1.6 一根长为l 的均质链条，放在摩擦系数为μ的水平桌面上，其一端下垂，长度为a 。

如果链条自静止开始向下滑动，试求链条刚刚滑离桌面的速度v 。

解：设链条质量为m ，单位长度的质量即线密度为lm；因为系统不受外力作用，因此机械能守恒，将势能零点选在光滑的桌面上，取坐标竖直向上为正方向。

开始时刻：系统的机械能21a g l m aE -= 末了时刻：系统的机械能21212mv l g l m l E +-=依据机械能守恒定律有21E E =2a g l m a-=2212mv l g l m l +- 则)(22a l lg v -=1.7 设原来静止的炸药包，在某一时刻炸成A 、B 、C 三部分，A 和B 质量都为M ，C 的质量为2M ，且A 向西飞出，速度为80m ·s -1，B 向南飞出，速度为60rn ·s -1，求C 的速度。

解：图略爆炸瞬间，系统动量守恒，所以：0=++C B A P P P 即：026080=+--C v M j M i M得：j i v C3040+=1.8 如图所示，圆盘状滑轮的半径为 1.0m ，质量为kg 100.12⨯，重物质量m '为 10kg 。

求系统从静止开始到滑轮转过2周时的角加速度、角速度及力矩所作的功。

解：图略，由转动定律有：ββ221mR I TR M ===----① 对重物：a m T g m '=-'-------------------② 该系统中：βR a =---- -------------------③ 力矩的功：βθβθθ221mR I M A ===------④ 联立上面方程得：22/63.1/3049s rad s rad ==β 1.9 质量为0.5kg ，长0.4m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动，将此棒自水平位置开始，放开任其自由转动。

试求：图1-24 习题1.8用图（1）下落开始时刻的角加速度；（2）下落到垂直时动能、角速度；角加速度。

解：（1）由转动定律：βI l G M ==2∴β2312ml l mg= 解得：2/5.37s rad =β （2）到竖直位置时，由机械能守恒可得：1.10 人站在可以自由旋转的平台上，两手各执一质量为2kg 的哑铃，两铃相距1.5米时，平台转速为s rad 12-⋅=πω。

当人将哑铃收回使其相距0.8米时，平台转速增为s rad 13-⋅='πω，求人的转动惯量(设人的转动惯量不变)及拉近哑铃时所作的功。

解：设人的转动惯量为I,由角动量守恒定律得：ωω''+=+)2()2(22R m I mR I ， m R 25.1=， m R 28.0=' 解得：258.2kgm I = 设拉近哑铃做的功为A,则由动能定理可得2222)2(21)2(21ωωmR I R m I A +-''+==46.67 J 1.11 一飞轮以转速⨯=5.1n 103转／分转动，受到制动后均匀的减速，经过50秒后静止。

求：（1）角加速度和从开始制动到静止飞轮转过的角位移； （2）25秒时的角速度。

解：πππω5060105.12230=⨯⨯==n s rad / （1）当t=50s 时 0=ω 则角加速度为：πωωβ-=-=ts rad /，角位移为：（2）当 t=25s 时1.12 电动机带动一个同轴的转动惯量2.50m kg I =的刚体系统作定轴转动，在0.5秒内由静止开始最后达到每分钟120转的转速，假定这个过程中转速是匀速增加的，求该电动机输出的转动力矩。

解：已知：s t 5.0= 00=ω 所以角加速度ππωωωβ85.06012014.3220=⨯⨯===-=tntt(red/s)力矩为：31026.1400850⨯==⨯==ππβI M （2/s red ）1.13 按相对论的质能关系式计算对应于下列情况的质量变化m ∆。

（1）1kg 水温度从273K 升高到373K ；（2）把倔强系数为300N ·m -1的健身弹簧拉长1米。

(水的比热4.18X103焦尔／千克·升)解:(1)此过程水增加的能量为：531018.4)273373(11018.4⨯=-⨯⨯⨯=∆==∆t cm Q E 吸J由质能关系式：2mc E ∆=∆∴1228521064.4)103(1018.4-⨯=⨯⨯=∆=∆c E m kg （2）1501300212122=⨯⨯==∆kx E J∴152821067.1)103(150-⨯=⨯=∆=∆c E m k 1.14 按照相对论的质速关系式，计算出当物体以光速的0.10、0.90倍运动时，物体的运动质量为静止质量的多少倍？速度达光速0.90倍时，按相对论力学算得的动能为按经典力学算得的动能的多少倍？解：(1)由质速关系式：20)(1cvm m -=可得：2)(11c v m m -=当v=0.1c 时005.199.010==m m当v=0.9c 时294.219.010==m m（2）当v=0.9c 时，按相对论算得的动能为： 按经典力学算得的动能为：∴185.3='kkE E 倍。