圆盘边缘绕有绳子,上端固定在天花板上,大圆盘也绕有绳子,下
端挂以质量为m的物体,如图所示.求(1)要使圆盘向上加速、向下
加速,静止或匀速运动的条件?(2)在静止条件下两段绳中的张力.
轴处摩擦和绳的质量忽略.绳与滑轮之间没有相对滑动发生. 9
解：圆盘的运动属于纯滚动.小圆盘与绳的切
点O’为 瞬时轴，则有：
mg l 1 ( 1 ml 2 )2 2 23
( 1 ml 2 ) ( 1 ml 2 )'m' vl
3
3
om l
碰时角动量守恒
1 (1 ml 2 )2 1 (1 ml 2 )'2 1 m' v2
m
23
23
2
碰时能量守恒： m m'
v 1 3gl
2
13
4-15一个质量为m，半径为R的匀质圆柱体，在一块以加速度A运
F
相同
在质心参照系中： aF dLC dt
LC IC
15
IC为通过质心垂直于棒轴的转动惯量，已知： IC mk 2
(0) 0
mk2 (t) (0) aF
t
(t )
aF mk 2
t
在L系中若要
vQ 0
vQ vC b
F m
t
aF mk 2
t
b
0
k2 b
a
交换a、b可证明p、Q互为共轭点
gh 3
E kC
1 2
I(
vC R
)2
1 3
mgh
4-9 长为2a的匀质细杆AB，以铰链固结于A点，起初使杆在水平
位置，当放开B端，棒绕A点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自
动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛
物线，而棒本身则绕质心C转动，试求当它的质心从C’位置下
降h距离时（如图所示），棒共转了多少转？
z
y r x
y dm
x
4-2 计算由三根质量均为m长为l的均匀细杆组成的正三角形
绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量.
1
解： OA相对于O点的转动惯量:
I1
1 3
ml 2
OB相对于O点的转动惯量: AB相对于O点的转动惯量:
I2
1 3
ml
2
l
I3
1 12
ml
2
m(
3 l)2 2
5 ml 2 4
aC R 4 vC 3
解法2：
gh
d
vC R
dt
aC
末 初 Fi外
1 EkC 2
driC
I( vC )2 1 mgh
末R T
初
3
dr边C
2g 3
(Eik内末
Rm T
mg
Eik内初 )
i
(
1 2
IC2 末
1 2
i
IC2 初
)
（1 ）
末 末
末
初 migdriC
(m1g m2g时)
T2 m2g m2a
(T1
T2
)R
I
a R
a (m1 m2 )g
(
I R2
m1
m2
)
T2
(m1
m2
I R2
)m2
g
I (R2 m1 m2)
T1
m1g(
I R2
m1
m2
)
I
(R2
m1
m2) 4
4-6 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理.
解: 刚体饶定轴转动角速度为,角加速度为,转动惯量
T(RA RB ) (mA mB )gRB
(1) 圆盘静止或匀速运动,则m也匀速运动或 静止 ,则有T = mg
T’
O’
O RA RB
mg (RA RB ) (mA mB )gRB
圆盘向上加速运动
T (mA+mB)g
当mg(RA RB ) (mA mB )gRB
圆盘向下加速运动 当mg(RA RB ) (mA mB )gRB T
解：以知 1=2n接合过程中,摩擦属内力,又
无其他外力矩，角动量守恒I1 = (I1+I2)
所以
n
2
I1
I1 I2
n1
200
（转/分）
AB
E
1 2
I112
1 2 (I1
I2 )2
2I12n12
I2 I1 I2
1.32104(J)
4-11 质量为mA和mB,半径为RA和RB的两个圆盘同心地粘在一起,小
1
a k2
b
0
a k2 b
16
2
4-4 以垂直于盘面的力F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，
使其制动,如图所示.飞轮可以看作是质量为m、半径为R的匀质圆
盘,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为µ,轴的粗细可略,飞轮的初始
角速度为.(1)求摩擦力矩.(2)经过多长时间飞轮才停止转动？
解：
F dN R2 2rdr
dM rdN
0 R
R
A
总的转动惯量为:II1I2I33 2
ml
2
O
3 2
l
l
lB
4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为R，质量为m，如图所示，试
求细杆对过圆形圆心和端点的轴AA’的转动惯量.
解: dI r2dm (R sin)Rd
dl Rd
I dI R3 sin2d R3 1 mR 2
0
22
A'
d
R
rA
d R a' dt
mA 1 ma' ma' 2
a' 2 A 3
2
1
圆柱体相对于地面的加速度a为
a
AA 3
A 3
14
新教材4-16：一根长为 l质量为 m的棒，置于无摩擦的水平面
上，在一很短的时间间隔 t内，这棒受一力F打击而产生一个冲 量，这力作用在 p点上， p至质心的距离为a，试求: 质心的速
4-5解： (1)如图所示分为三个隔离体求解。 m2 T2
I
m1g T1 m1a T2 m2a
(T1
T2
)R
I
a R
(2)
a m1 g
I ( R2 m1 m2 )
T1
T2 m1m2 g
(
I R2
m1
m2 )
m1
T1
I m1g( R2
m2
)
(
I R2
m1
m2)
m1g T1 m1a
(2) 在静止条件下将圆盘和物体m视为一整体，则: T’=(m+mA+mB)g 物体m静止则有: T=mg
m mg10
4-12 一质量m=10千克,半径为R=0.20米的圆柱体，用绳子系住
它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量m1 =2千克，半径r =0.1米 的定滑轮，在绳的下端悬一质量m2=5.0千克的重物。设绳长不变
31
(m2 2 m 2 m1)
T1'
r
m1
T2'
T2
m2
m2g
3 T1 2 ma 35(N)
T2 m2(g a) 37.3(N)
11
4-13 一根长为 l 、质量为m的均匀细杆可绕其一端的水平轴O 自由摆动。当被一发质量为m’的子弹在离O点的a处水平方向击 中后，子弹埋入杆内，杆的最大偏转角为 ，求子弹的初速度 。已知 l =1.0米，m =2千克，m’ =20千克，a=0.7米， =60o
第四章 刚体的运动规律
4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交 的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即
Iz=Ix+Iy
证明: 依题意作右图所示,由定义求得:
Iz r2dm (x2 y2 )dm x2dm y2dm Ix Iy
2
M
0
dM
FR 3
又 M I ( 1 mR 2 )
2
0 t
r dr
t
1 2
mR 2
0
M 3mR 0 4F
4-5 如图，两物体的质量分别为m1 和m2，滑轮的转动惯量为I， 半径为R。(1)如果m2与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中张力T1和T2 .(2)如果m2与桌面之间的摩擦系数为 ,求系 统的加速度和及绳中张力T1和T2 .绳子与滑轮间没有相对滑动3 。
为Iz ,外力对定轴z的力矩为Mz,转动定律数学表达式:
d
z
而力矩的功:
Mz Iz Iz dt
d
w
Mzd
Iz
dt dt
0 Iz d
1 2
Iz2
1 2
I
z
02
力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理.
4-7 如图所示，有一个半径为R=0.2米，质量m1=2.5千克的匀质
圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳
v02
2
3
m'2 a2
v0 186(m s1 )
12
4-14 质量为m长为l的匀质细杆，可绕端点O的固定水平轴转动，
把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平 桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且
碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度v。
解：下摆（定轴转动）能量守恒，
g d(
初
miriC ) 初 g md rCC 0
i