v = v +( + ) v ' mv mv m m v v ' = ( v − v ) /( + ) v mv mv m m
O f 1 2 C C O f 1 2
300 m1
x
v v 1 v 1 v −1 = m(2i − 1j) /(4 + 2) = i − j(m.s ) 6 12
( Vc’是子系统质心速度） 是子系统质心速度）
2
(2)绳中张力处处近似相等,如图: (2)绳中张力处处近似相等,如图: − 2F cos θ + mg = ma , 绳中张力处处近似相等
v l dv d v0 l a= )=− = (− 3 dt dt 2 x 16 x m 0l2 (x2 + l2 4)1/ 2 v2 F = (m + g ) 3 16x 2x
走了多远. 走了多远 水平方向合外力为零,故水平方向动量守恒 故水平方向动量守恒: 解: 水平方向合外力为零 故水平方向动量守恒 (M+m) xc=Mx1+mx2 Vc=0 △xc=0 m ∆x2 (M+m) △xc=M△x1+m△x2=0 ∆x1 = − △ △ M 由相对运动可知 △x1+ l =△x2 m M
（2）若用此绳提升箱子，则有 若用此绳提升箱子，
F−m = m g a
F ∴ m= = 92.6(kg) (g + a)
如题图所示， 使木箱上升，若绳端的下降速度不变， 3-2 如题图所示，用力F使木箱上升，若绳端的下降速度不变， 定滑轮和绳的固定端在同一高度上， 木箱质量为m，定滑轮和绳的固定端在同一高度上，且相距为l， 动滑轮、定滑轮和绳的质量以及绳的伸长量都忽略不及，(1)以 动滑轮、定滑轮和绳的质量以及绳的伸长量都忽略不及，(1)以x (2)求F(x)。 为变量表示m的速率v； (2)求F(x)。
v2 解： v N=m v R R 2 v dv dv µ f = −µN = −µm = m ∴ 2 = − dt R dt v R 1 1 µ 积分 − = t ∴ v = v0R (R + µ ν0t) v v0 R ds R µv0 Q =v ∴ ds = vdt 积分: s = ∫ vdt = ln(1 + 积分 t) R st µ
一条质量为m,长为l的细绳,拉直后平放在光滑的桌面上, m,长为 3-10. 一条质量为m,长为l的细绳,拉直后平放在光滑的桌面上, 让其一端略沿桌面垂下,则细绳会顺其滑下, 让其一端略沿桌面垂下,则细绳会顺其滑下,求细绳在滑下过程 中的速率v与垂下部分绳长的关系. 中的速率v与垂下部分绳长的关系.
8
解：取桌面所在的平面为零势能面,单位长度绳的质量为m/l,当 取桌面所在的平面为零势能面,单位长度绳的质量为m/l,当 m/l, 绳的下垂部分长为x 其质量为xm/l,于是由机械能守恒,可得: xm/l,于是由机械能守恒 绳的下垂部分长为x时,其质量为xm/l,于是由机械能守恒,可得:
x 在地面上竖直向上发射火箭， 3-11 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量M0，喷 不计空气阻力， 气相对于火箭主体的速度为u，不计空气阻力，求使火箭刚能离 r r v v + dv 应为多大？ 开地面的最低喷气流量qm应为多大？ r u v 设火箭在地面发射时只受引力M 解：设火箭在地面发射时只受引力M0g dm M+ dM 其它各量如图所示由动量定理, ，其它各量如图所示由动量定理,并略 + M x t 去二阶无穷小量dMdv 去二阶无穷小量dMdv t + dt
xc=
(30.2 + 1.68× 2) ×10−24
2 = 1.77X10−10(m) 6
3-7一匀质细杆弯成半径为 的半圆形 求它质心的位置 一匀质细杆弯成半径为R的半圆形 求它质心的位置. 一匀质细杆弯成半径为 的半圆形,求它质心的位置 依题意取坐标系如图所示,由于对称性 故有: 解:依题意取坐标系如图所示 由于对称性 故有 依题意取坐标系如图所示 由于对称性,故有
有一个6.0千克的质点，位矢为r=(3t 6t)i6.0千克的质点 3-12 有一个6.0千克的质点，位矢为r=(3t2-6t)i-4t3j+(3t+2)k 试求（ 作用在这质点上的力; （米）试求（1）作用在这质点上的力;（2）作用在质点上的 力矩（对原点）；（ ）；（3 这质点的动量和角动； 力矩（对原点）；（3）这质点的动量和角动；
2 0
2
θ
F
mg
F
摩托快艇以速率v 行驶，它受到的摩擦阻力（粘滞力） 3-3 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力（粘滞力）与 速度的平方成反比, f=速度的平方成反比,可表 示为 f=-ηv2 设摩托快艇的质量为m， 求当摩托快艇发动机关闭以后, 速度v随时间的变化规律； 求当摩托快艇发动机关闭以后,（1）速度v随时间的变化规律； 随时间的变化规律；（ ；（3 证明速度v （2）路径x随时间的变化规律；（3）证明速度v与路程x之间的 关系为
1 2 m 1 0 = m + x g(− x) v 2 l 2 = −dM ∴−dM(v − u) + (M0 + dM)(v + dv) − M0v = −M0g ⋅ dt dv dM dm dv Qdv > 0 ∴M0 + u = −M0g ∴u = M0g + M0 dt dt dt dt dm M0 9 g ∴qm = ≥ dt u
1 ∴ T = mω2 (l 2 − r2 ) 2l
一个水分子(H O)由一个氧原子 由一个氧原子（ 千克） 3-6 一个水分子(H2O)由一个氧原子（mo=30.2 × 10-24千克）和两 个氢原子(m 组成， 个氢原子(mH=1.68 × 10-24千克 )组成，氧原子与氧原子的中心距 离均为2.76 2.76埃 ），氧原子中心与两个氢原子中心 离均为2.76埃（1埃= 10 -10米），氧原子中心与两个氢原子中心 的连线夹角为105o，试求水分子的质心位置（如图所示）。 的连线夹角为105 试求水分子的质心位置（如图所示）。 x H H 为坐标原点，如图: 解:以O为坐标原点，如图: 105o yc=0 105° −24 −10 o y 2×1.68×10 × 2.76×10 cos
l2 2 l/2 , o 因为m的位矢x满足: 解: (1) 因为m的位矢x满足: x = 4 x l dx dl dx dl = 2l 求导: 2x 求导: v = v, = − v0 dt dt dt dt 2
O’
v0 l v0 (x2 + l2 4) v=− =− 2x 2 x
1 2
m 负号( 负号(-)表示向上
v=v0 e-2
ηx/m
.
v t η d v t = −∫ 3 d 2 0 m v
解（1）快艇关闭后,只受摩擦力作用,速度从v0逐渐减小 快艇关闭后,只受摩擦力作用,速度从v
dv f = −ηv = m dt
dv η = − dt 2 v m
积分： 积分：
∫
v0
m 1 1 t = ( − ) ∴ v = v0 (1 + v0η t / m) 得: η v v0 v0 (２)dt内走过的距离dx为 dx = vdt = dt v0ηt (1 + ) m x t v0ηt m 积分： 积分： ) x = ∫ dx = ∫ vdt = ln(1 + 0 0 m η
一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为m,长度为L ,一 m,长度为 3-5 一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为m,长度为L ,一 端栓在转动轴上，并以匀角速率ω在一光滑水平面内旋转， 端栓在转动轴上，并以匀角速率ω在一光滑水平面内旋转，问转 动轴为r处的绳子中张力是多少？ 动轴为r处的绳子中张力是多少？
v0 (３) Q v = ３ 1 + v0ηt m
得:
v0 ∴ = 1 + v0ηt m v
v0 m x = ln( ) v η
∴
v = v0e
η − x m
4
在光滑水平桌面上平放着一个固定的圆环，半径为R 3-4 在光滑水平桌面上平放着一个固定的圆环，半径为R，一 物体沿环的内侧运动，摩擦系数为µ。 物体沿环的内侧运动，摩擦系数为 。已知t=0时，物体的速率 求在t时刻物体的速率和在t时间内物体所经过的路程。 为 v0，求在t时刻物体的速率和在t时间内物体所经过的路程。
m l ∴ ∆x1 = m+ M
7
两个小球用一细杆连结起来， 3-9 两个小球用一细杆连结起来，它们静止于一无摩擦的水 平面上， =4.0千克 千克， =2.0千克 第三个小球的质量为0.5 千克， 0.5千 平面上，m1=4.0千克，m2=2.0千克，第三个小球的质量为0.5千 趋近这系统，并与2千克的小球相撞， 它以v =2i(米 克，它以v0=2i(米/秒)趋近这系统，并与2千克的小球相撞， 如果0.5千克的小球以v 跳开(v =1.0米 0.5千克的小球以 如果0.5千克的小球以vf j跳开(vf =1.0米/秒)，问这二小球系 统的质心速度如何？ 统的质心速度如何？ y v0 vf j 为子系统，杆中张力为内力， 解：m1和m2为子系统，杆中张力为内力，m与 m m2 碰撞前后动量守恒， m2碰撞前后动量守恒，有：
y dm
x = Rcos θ xc = 0
yc =
y = Rsin θ
π2 0
dm = λRdθ
2R = π
∫ ydm = 2∫ ∫ dm
RsinθλRdθ m
dθ θR θ o
x
3-8 在光滑的水平冰面上 静放着质量为 的大平板车 车上站着 在光滑的水平冰面上,静放着质量为 的大平板车,车上站着 静放着质量为M的大平板车 一个质量为m的人 的人,若人在车上走了 后而停止,那么平板车相对地 一个质量为 的人 若人在车上走了l 后而停止 那么平板车相对地