第四章电磁学基础静电学部分4.2解：平衡状态下受力分析+q受到的力为：处于平衡状态：（1）同理，4q 受到的力为：（2）通过（1）和（2）联立，可得：，4.3解：根据点电荷的电场公式：点电荷到场点的距离为：两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称：所以：当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。

4.4解：取一线元，在圆心处产生场强：分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向的分量叠加：方向：沿x正方向4.5解：（1（2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。

4.7解：线密度为λ，分析半圆部分：点电荷电场公式：++在本题中：电场分布关于x 轴对称：，进行积分处理，上限为，下限为：方向沿x轴向右，正方向分析两个半无限长：，，，两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量：在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。

电场强度的方向沿x轴负方向，向左。

那么大O点的电场强度为：4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么通过以R为半径圆周边线的任意曲面的电通量相等。

所以通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半径圆面的电通量，即：4.9解：均匀带电球面的场强分布：球面R 1、R2的场强分布为：根据叠加原理，整个空间分为三部分：根据高斯定理，取高斯面求场强：图4-94 习题4.8用图S1S2RO场强分布：方向：沿径向向外4.10解：（1）、这是个球对称的问题当时，高斯面对包围电荷为Q当，高斯面内包围电荷为q方向沿径向（2）、证明：设电荷体密度为这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。

但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。

由电场叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为：在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为：在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为：所以4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分场强分布：方向：沿径向向外4.12 解：取闭合圆柱面为高斯面，高斯定理场强分布：方向沿径矢方向4.14 解：无限大带电平面的电场分布为：，场强叠加（1）电荷面密度均为σ在一区：在二区：在三区：（2）电荷面密度分别为σ和-σ在一区：在二区：在三区：方向为垂直于平面方向4.16解：把总的电场力做功看做是正电荷+q电场力做功和负电荷-q电场力做功的叠加，得用公式(4—14)：（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力做功。

设试验电荷电量为q0。

正电荷+q的电场力做功：负电荷-q的电场力做功：总的电场力做功：对单位正电荷做功为：（2）把单位负电荷从AB的延长线移到无穷远处，电场力对它对做功。

设试验电荷电量为-q0。

正电荷+q的电场力做功：负电荷-q的电场力做功：总的电场力做功：对单位负电荷做功为：4.19解：均匀带电球面内外的电势分布为：结合本题，先写出各个球面的电势分布，再利用电势叠加原理。

对于球面1：对于球面2：整个空间内，电势分三部分：对应于红色部分对应于蓝色部分那么两个球面上的电势：两个球面之间的电势差为：此题也可得用积分来求4.22解：做一闭合圆柱面为高斯面，求两个无限长同轴圆筒间的电场强度4.23解：取无穷远处为电势零点设导体球带电量为q’由于点电荷q的存在，我们并不清楚导体球面上电荷的具体分布，但是球面上任何电荷元dq到球心的距离都是R。

导体球是等势体，只需求出球心的电势就可以了。

电势叠加原理式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷q在球心处的电势，积分得此为点电荷q电场影响下的，导体球的电势，根据题设，导体球电势为0可得：4.28解：基本的电容题，写出各个量，，，利用有介质时的平行板电容器的电容公式：每个极板上的电荷量为：4.30解：充电后把电源断开，平行板电容器两个极板上的带电量不变，为Q0。

两极板距离为d时，，，，两极板距离为2d时，，，，或者：4.33解：在真空中导体球外的电场分布为，有介质存在时的电场分布为，介电常数，导体球外整个空间介电常数为ε电场能量密度取一均匀半径为r，厚度为dr的球壳，球壳上E大小相等球壳厚度为电场能量为4.36解：球形电容器的电容公式电容器的能量得到球形电容器所储存的能量为静磁学部分4.39解：（a）根据毕萨定律：对于导线2部分，P点在其延长线上，，所以导线2在P点的磁感应强度为0。

根据例4.19的结论：对于导线1：，，，方向垂直纸面向外。

（b）对于导线1、3，可视为半无限长载流导线，在P点的磁感应强度分别为：，方向均垂直纸面向里。

对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的磁感应强度为，。

导线2在圆心处的磁感应强度为，方向均垂直纸面向里。

磁场叠加：，方向垂直纸面向里。

（c）根据毕萨定律：对于导线1、3部分，P点在其延长线上，，所以导线1、3在P点的磁感应强度为0。

对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的磁感应强度为，。

导线2在圆心处的磁感应强度为，，方向垂直纸面向里。

4.41解：据毕萨定律：对于导线A、B部分，P点在其延长线上，，所以导线A、B在P点的磁感应强度为0。

两段圆弧可以看做一个并联电路。

设导线1对应弧度θ1，导线2对应弧度θ2，θ1+θ2=2π。

电阻之比为：，电流之比：。

导线1在圆心处的磁感应强度为：，方向垂直纸面向里。

导线2在圆心处的磁感应强度为：，方向垂直纸面向外。

所以在圆心处的全磁感应强度为0。

4.42解：根据无限长载流导线的磁场分布公式导线1在两导线中点处的磁感应强度为，方向垂直纸面向外导线2在两导线中点处的磁感应强度为，方向垂直纸面向外合磁感应强度为：，方向垂直纸面向外在矩形中取一个小的面积元，，在这个小面积上导线1产生的B是相等的。

，求磁通量：同理可得导线2对这一矩形的磁通量：因为，并且磁场方向一致，4.43 解：利用安培环路定理：，本题为一圆柱体。

当时，当时，无限长载流圆柱的磁场分布为：求一段圆柱内环绕中心的磁通量，就是求圆柱内通过阴影部分的磁通量根据上一问的结果，在圆柱内：在小面积元上磁感应强度相同，磁通量为：4.47解：粒子运动受到的洛仑兹力等于向心力，可得粒子动量为：代入数据：4.48解：这是一个细导线闭合回路，设电流方向为顺时针圆弧在圆心处：方向垂直纸面向里电流元在圆心处受力：，即：单位长度导线所受的力：4.49解：设磁场垂直纸面向里取直径把导线圆环分成任意两个半圆弧分析右边圆弧的受力情况电流元受力：各个电流元受力的方向不同，需要进行力的分解对称性质分析，在y方向上合力为0。

沿x轴正方向。

同理可分析左边半圆弧的受力，大小相等，方向相反，导线圆环所受合力为0。

所受张力为导线圆环上各点受力4.52解：分析过没介质时螺绕环的磁场分布。

现在是有介质的情况，用H的环路定理本题中，取磁场线为闭合路径，磁场强度为：代入数据：磁感应强度为：，代入数据：求传导电流产生的磁感应强度，利用稳恒磁场的安培环路定理，可得：由，磁化电流产生的磁场为：电磁感应部分4.54解：ab运动到与Oc相距x时，磁感应强度切割磁感线，动生电动势为：方向由b向a。

磁场变化，法拉第感应定律，感生电动势为：假设与磁场方向满足右手螺旋为正方向，由a向b。

现在结果和假设方向相反，为由b向a。

动生电动势和感生电动势方向相同，叠加：，方向由b向a4.55解：利用动生电动势的公式对于ab段，和的夹角是90度，的方向与由a到b的方向夹角为90度，可得，所以ab段上的动生电动势为0。

对于bc段，和的夹角是90度，的方向与由b到c的方向夹角为60度，可得代入数据：，c端的电势高。

4.56解：可以把圆盘分为无限多个长为R的金属杆，圆盘绕中心轴转动，可看做无限多个金属杆绕中心轴O转动。

根据例4.26，一长为R的金属杆，在垂直于均匀磁场B的的平面内以角速度ω绕其一端均匀转动，杆中的电动势为：A端的电势高（1）可以利用动生电动势的公式（2）可以利用法拉第电磁感应定律求OA金属杆上的电动势4.58解：根据例题4.21：无限长载流薄圆筒内外的磁场为(4-89)磁场能量密度为在本题中磁场能量密度:磁场能量为:(4-88)一个自感为L、载流为I的线圈中所储存的磁能为：自感系数为：另外的一封答案问题4.1电场强度的物理意义是单位正电荷量所受的力。

如果说某点的电场强度等于在该点放一个电量为一库仑的电荷所受的力，对么？为什么？答：这是不对的。

电场强度是一个只与电场有关，而与电荷无关的量。

4.2如何判断负电荷在外电场中的受力方向？在地球表面上通常有一竖直方向的电场，如果电子在此电场中受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝上还是朝下？答：先判断出正电荷的受力方向，然后转即得负电荷的受力方向。

如果电子在此电场中受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝下的。

4.3点电荷的电场公式为。

从形式上看，当场点与点电荷无限接近时，场强，对么？为什么？答：所谓点电荷是物理上的理想模型，实际并不存在。

只有离带电物体足够远时才能忽略带电物体的形状、大小，将其视为点电荷。

当场点与点电荷无限接近时，任意电荷都不能视为点电荷，上述公式不成立。

所以说当场点与点电荷无限接近时，场强，是不对的。

4.4电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹吗？为什么？在两个相同的点电荷的连线中点，电场线是否相交？答：电场线是为了形象地描述电场而引进的一系列的曲线，不代表点电荷在电场中的运动轨迹。

在两个相同的点电荷的连线中点，其电场强度为零，所以电场线不能相交。

4.5三个相等的点电荷放在等边三角形的三个顶点上，问是否可以以三角形中心为球心作一个球面，利用高斯定理求出它们所产生的场强？对此球面高斯定理是否成立？答：由于此三个点电荷产生的电场不具有球对称性，在以三角形中心为球心所作的高斯面上，各点的场强无论其大小还是与球面面元的夹角都不是常数，因此对上述球面，不能利用高斯定理求出它们所产生的场强。

但高斯定理适用于一切静电场，故对此球面高斯定理仍然成立。

4.6如果高斯面为空间任意闭合曲面，下列说法是否正确？请举一例加以论述。

（1）如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷；（2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零；（3）如果高斯面上电场强度处处不为零，则该面内必有净电荷；（4）如果高斯面内有净电荷，则高斯面上电场强度处处不为零。

答：（1）如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷。

这句话不正确。

因为高斯面上电场强度处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和为零。

即高斯面一定没有包围净电荷。

则面内可以有电荷，只不过电荷的代数和为零。

（2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零。