v＝ 12 km/h 时，每小时的燃料费为 720 元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
解 设每小时的燃料费为 y1，比例系数为 k( k>0) ， 则 y1＝ kv2，当 v＝ 12 时， y1＝ 720， ∴720＝ k·12 2，得 k＝ 5.
设全程燃料费为 y，由题意，得 200 1 000 v2
探究点二
利润最大问题
例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8 π r 2 分，其中 r ( 单
位： cm)是瓶子的半径．已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的
瓶子的最大半径为 6 cm. 则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每
一些生活中的优化问题．
探究点一
面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1) 函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值
的变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式
y＝f ( x) ．
(2) 确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
128
解
设版心的高为 x dm，则版心的宽为 x dm，此时四周空白面积为
128 S( x) ＝( x＋ 4) x ＋ 2 － 128
512 ＝ 2x＋ x ＋ 8，x>0.
求导数，得
512 S′（x) ＝ 2－ x2 .
512 令 S′（x) ＝ 2－ x2 ＝ 0，解得 x＝ 16( x＝－ 16 舍去 ) ．
反思与感悟
本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为
v＝ 16 时取得最小值．本题的关
键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练 3 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里 /
时， A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，
________米．
答案 32,16
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为
512
512
因此新墙壁总长度 L＝ 2x＋ x ( x>0) ，则 L′＝ 2－ x2 .
令 L′＝ 0，得 x＝± 16.
∵ x>0，∴ x＝ 16.
512 x 米，则长为 x 米，
512 当 x＝ 16 时， Lmin＝ 64，此时堆料场的长为 16 ＝ 32( 米) ．
B． 0.032 4 D． 0.048 6
答案 B 解析 依题意，得存款量是
kx2，银行支付的利息是
kx
3
，获得的贷款利息是
0.048 6 kx2，
其中 x∈(0,0.048 6) ． 所以银行的收益是 y＝0.048 6 kx2 －kx3(0< x<0.048 6) ，则 y′＝ 0.097 2 kx－ 3kx2 (0< x<0.048
＋
300x，且由题意知，函数的定义域为
(0,35] ，
480 000 即 y＝ x ＋300x(0< x≤35) ．
480 000 (2) 由 (1) 知， y′＝－ x2 ＋ 300，令 y′＝ 0，
解得 x＝40 或 x＝－ 40( 舍去 ) ． 因为函数的定义域为 (0,35] ，所以函数在定义域内没有极值点．
所以，当 x＝ 4 时，函数 f ( x) 取得最大值，且最大值等于 42.
答 当销售价格为 4 元 / 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
探究点三
费用 ( 用材 ) 最省问题
例 3 已知 A、B 两地相距 200 km，一只船从 A 地逆水行驶到 B 地，水速为 8 km/h ，船在静
水中的速度为 v km/h(8< v≤ v0) ．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当
即 y 在(8 ， v0] 上为减函数， 1 000 v20
∴当 v＝v0 时， y ＝ min v0－ 8 ( 元 ) ．
综上，当 v0≥16 时， v＝ 16 km/h 全程燃料费最省，
为 32 000 元； 1 000 v02
当 v0<16，即 v＝ v0 时全程燃料费最省，为 v0－ 8 元．
答案 A
解析 设底面边长为 x，高为 h，
则
V(
x)＝
x2·
h＝ 256，∴
256 h＝ x2 ，
∴
S(
x)
＝
x 2＋
4xh＝x2＋
4x·
256 x2 ＝
x 2＋
4×256 x
，
4×256 ∴ S′（x) ＝ 2x－ x2 .
256 令 S′（x) ＝ 0，解得 x＝ 8，∴ h＝ 82 ＝ 4.
y( 升 ) 关于行驶速度 x( 千米 / 时)
的函数解析式可以表示为
y＝
1 128 000
x 3－
3 80 x＋
8(0<
x≤120)
．已知甲、乙两地相距
100 千米，
当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100
解
当速度为 x 千米 / 时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x 小时，设耗油量为 h( x) 升，
(3) 求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4) 下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例 1 学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传． 现让你设计一张如图所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm. 如何设
计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
6) ．
令 y′＝ 0，得 x＝ 0.032 4 或 x＝ 0( 舍去 ) ．
当 0<x<0.032 4 时， y′>0；
当 0.032 4< x<0.048 6 时， y′<0. 所以当 x＝ 0.032 4 时， y 取得最大值，即当存款利率为
0.032 4 时，银行获得最大收益．
3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
又当 0<x≤35 时， y′<0，
480 000 所以 y＝ x ＋ 300x 在(0,35] 上单调递减，
480 000 故当 x＝35 时，函数 y＝ x ＋300x 取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里 / 时的速度行驶．
1．方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为 ( ) A． 4 B ． 6 C ．4.5 D ．8
128 128 于是宽为 x ＝ 16 ＝ 8.
当 x∈(0,16) 时， S′（x)<0 ； 当 x∈(16 ，＋∞ ) 时， S′（x)>0.
因此， x＝ 16 是函数 S( x) 的极小值点，也是最小值点． 所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1) 在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通
过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的． (2) 在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练 1 如图所示， 某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场， 一边可以利用 原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为
瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是
y＝
f
(
r
)
＝0.2
×
4 3π
r
3－
0.8
π
r
2
＝ 0.8
π
r3 3－
r
2
， 0<r ≤6.
令 f ′（r ) ＝ 0.8 π( r 2－ 2r ) ＝ 0.
当 r ＝ 2 时， f ′（r ) ＝ 0.
当 r ∈(0,2) 时， f ′（r )<0 ；
【创新设计】 2019-2020 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生 活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修 2-2
明目标、知重点 1．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 2．了解导数在解决实际问题中的作用．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是：
优化问题 → 用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
.
情境导学 ]
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通
过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大
( 小 ) 值的有力工具，本节我们运用导数，解决
轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比
( 比例系数为 0.6) ，其余费用为每小时 960 元．
(1) 把全程运输成本 y( 元 ) 表示为速度 x( 海里 / 时 ) 的函数；
(2) 为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解 (1)
依题意得
y＝
500 x (960
＋
0.6
x 2)
＝
480 000 x
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数
为 k( k>0) ．已知贷款的利率为 0.048 6 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利
率为 x，x∈(0,0.048 6) ，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为 ( )