【课标导航】1.掌握抛物线的定义,2.抛物线的标准方程和几何性质、选择题1 .过抛物线AB =(A. 102.过抛物线AOB (第12天抛物线2y = 4x的焦点作直线交抛物线于A. 小于90°3.若抛物线B. 8=2px（p> 0）的焦点且垂直于B. 等于90o2px的焦点与椭圆X2A(X i,yJ、C. 6x轴的弦长为C.大于90°1的右焦点重合,B(X i,yJ ,若X i+ X2 = 6 ,则D. 4AB , O为抛物线顶点，则D.不确定则p的值为A.—2B.2C.D.44.过抛物线ax2(a> 0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是A. 2aB.丄2aC. 4aD.5.抛物线X2上到直线2X - y - 4= 0距离最短的点的坐标为代（J） B. (3 9)(2'4) C.(2,4) D. (1,1)6.已知点P是抛物线y2 4x上的一个动点，则点P到点（0, 2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为则m 等于中O 为坐标原点)，贝U ABO 与 AFO 面积之和的最小值是17 2 8二、填空题9. 一动圆M 和直线l : x= - 2相切,且经过点F(2,0),则圆心的轨迹方程是10.已知点P 是抛物线y 2 4x 上任意一点，P 点到y 轴的距离为d ,对于给定的点A (4, 5),PA + d 的最小值是 ________ . ______211.设F 为抛物线C : y =3x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A , B 两点，则AB12.若抛物线y 2 = 4x 截直线y = 2x+ m 所得弦长 AB = 3/5.以AB 为底边，以x 轴上点P 为顶点组成 PAB 的面积为39,则点P 的坐标为 _____________________ 三、解答题13.已知抛物线y 2 2x 的焦点是F,点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2),求PA PF 的最小值，并求出 取最小值时P 点的坐标.A .¥B . ,5C . 2 2D .37•抛物线y 2x 2上两点A(X i ，yJ 、B(X 2，y 2)关于直线 ym 对称，且x 1 x 2A. 328.已知F 是抛物线y 2C.52x 的焦点，点A , B 在该抛物线上且位于B. 2D. 3uuu uLurx 轴的两侧，OA OB 2(其• . 1014.已知A,B是抛物线x2 4y上的两个动点，0为坐标原点，非零向量OA,OB满足:OA OB = OA 0B(I)求证：直线AB经过一个定点；(H)求线段AB中点M的轨迹C ；(川)求轨迹C上的动点到直线y 2x的最短距离15•如图，曲线G的方程为y2 2x( y 0).以原点为圆心，以t (t >0 )为半径的圆分别与曲线G和y 轴的正半轴相交于点A与点B直线AB与x轴相交于点C(I)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;(H)设曲线G上点D的横坐标为a+ 2,求证：直线CD的斜率为定值16.已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于X轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于 5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B, 0B的中点为M.(I)求抛物线方程;(H)过M作MN FA，垂足为N,求点N的坐标;(川)以M为圆心, MB为半径作圆M当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系【链接高考】【2014年湖北】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F 1,0的距离比它到y轴的距离多1, 记点M的轨迹为C .(1)求轨迹为C的方程；(2)设斜率为k的直线丨过定点p 2,1，求直线丨与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围•1①2②式并整理得：yx 2 4 2第12天抛物线 O f 1 — 8.BCDC DBAB; 9. y 8x ； 10.34 1 ； 11. 12; 12. (11,0)或(15,0); 13.最小值是7,此时P 的坐标为(2,2).2 14. (l)vOA OB = OA OB ••• OA 丄 OB •/ OA 、OB 为非零向量， •直线OA 、OB 存在斜率且均不为零 1 设直线OA : y kx ,则直线OB : y 1 x . k y kx x 24y12 y -x A(4k,4k 2)，k x 2 4yB(故直线AB : yk 2 1 ——x k4，过定点x (n)设 M (x,y ).则y2k -2k 2 k 21 x^k①k 2 k 2 A 丫 ② k 22•••d2x2d min2.515. (i)由题意知，A(a,.2a) •因为 OA t ，所以 a 2 2a t 2 •由于 t 0，故有 t . a 2 2a • (1)由点B(0, t), C(c,0)的坐标知, 直线BC 的方程为△上1 •c t又因点A 在直线BC 上，故有a 上 1,c t将(1 )代入上式，得ac1，解得c a 2. 2(a 2) •4又••• F ( 1, 0),二 k FA -;MN FA, k MN34则FA 的方程为y=— ( x - 1) , MN 的方程为y 23当m=4时，直线AK 的方程为x =4 ,此时，直线 AK 与圆M 相离，、4当nmM 时，直线AK 的方程为y(x m),即为4x (4 m) y 4m 0, 4 m圆心M( 0 , 2)到直线 AK 的距离d |2m 8|,令d 2,解得m 1J16 (m 4)2当m 1时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切；当m 1时，直线AK 与圆M 相交【链接高考】(I)设点M(x, y),依题意，|MF | |x| 1 ,即..匕―1)2一y 2 |x| 1 ,4x(x 0) 整理的y 2 2(|x| x)，所以点M 的轨迹C 的方程为y 2.0,(x 0)(n)在点 M 的轨迹 C 中，记 C 1 : y 2 4x(x 0), C 2: y 0(x 0),依题意，设直线丨的方程为y 1 k(x 2),y 1 k(x 2)2由方程组 2得ky 2 4y 4(2k 1) 0①y 4xJ2(a 2) J2(a 2)■2(a,2(a 2)1 •2)a 2c a 2 (a 2、2(a 2))所以直线CD 的斜率为定值.216. (I)抛物线y 2px 的准线为x号,于是4 卫5,22P 2. •••抛物线方程为y ：(n)因为D(a 2, 2(a 2))，所以直线CD 的斜率为4x .由题意得 B ( 0, 4), M( 0, 2),(n)v 点A 的坐标是(4, 4),3 J43 X- 448y -(x1)x —3 ，得 53 4 y 2x y —4 5N(8,-)-5 5(川)由题意得，圆 M 的圆心是点0 , 2),半径为2. 解方程组1当k 0时，此时y 1,把y 1代入轨迹C 的方程得x -,41所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点(寸,1). 当k 0时，方程①的判别式为16(2k 2 k 1)②(i )若 0，由②③解得kX o 01即当k (, 1)(―,)时，直线l 与G 没有公共点，与 C 2有一个公共点,2故此时直线I 与轨迹C 恰有一个公共点.0 0 1 1(ii )若或，由②③解得k { 1,—}或 k 0，x 0 0x 0 02 2即当k { 1,1}时，直线I 与G 有一个共点，与C 2有一个公共点.21当k [ -,0)时，直线I 与G 有两个共点，与 C 2没有公共点.211故当k {1,—} [ -,0)时，故此时直线I 与轨迹C 恰有两个公共点.2 211 (iii )若，由②③解得1 k —或0 kx 0 0221 1即当k ( 1) (0,—)时，直线I 与G 有两个共点，与C 2有一个公共点.22故此时直线I 与轨迹C 恰有三个公共点. 1综上所述，当k (, 1)(-,)时直线I 与轨迹C 恰有一个公共点；1 1当k { 1,—} [ ,0)时，故此时直线I 与轨迹C 恰有两个公共点;2 2 1 1当k ( 1 ) (0,—)时，故此时直线I 与轨迹C 恰有三个公共点.2 2设直线丨与x 轴的交点为(X o ,O)，则由y 1 k(x 2)，令 y 0，得 x o2k k。