习题111. 选择题(1) 一圆形线圈在均匀磁场中作下列运动时, 哪些情况会产生感应电流( ) A. 沿垂直磁场方向平移B. 以直径为轴转动, 轴跟磁场垂直C. 沿平行磁场方向平移D. 以直径为轴转动, 轴跟磁场平行(2) 尺寸相同的铁环与铜环所包围的面积中, 通以相同变化率的磁通量, 环中( ) A. 感应电动势相同, 感应电流不同. B. 感应电动势相同, 感应电流相同. C. 感应电动势不同, 感应电流相同. D. 感应电动势不同.(3) 对于涡旋电场, 下列说法不正确的是( ) A. 涡旋电场对电荷有作用力. B. 涡旋电场由变化的磁场产生. C. 涡旋电场由电荷激发.D. 涡旋电场的电场线是闭合的.(4) 用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式212m W LI =( ) A. 只适用于单匝圆线圈.B. 只适用于一个匝数很多, 且密绕的螺线环.C. 适用于自感系数L 一定的任意线圈.D. 只适用于无限长密绕螺线管.(5) 有两个长直密绕螺线管, 长度及线圈匝数均相同, 半径分别为1r 和2r . 管内充满均匀介质, 其磁导率分别为1μ和2μ. 设1212r r =, 1221μμ=, 当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后, 其自感系数之比12L L 与磁能之比12m m W W 分别为( ) A. 1211L L =, 1211m m W W =. B. 1212L L =, 1211m m W W =. C. 1212L L =, 1212m m W W =. D. 1221L L =, 1221m m W W =.答案：B A C D C2. 填空题(1) 电阻2R =Ω的闭合导体回路置于变化磁场中, 通过回路包围面的磁通量与时间的关系为23(582)10()m t t Wb -Φ=+-⨯, 则在2t s =至3t s =的时间内, 流过回路导体横截面的感应电荷等于______________C .(2) 长为l 的金属直导线在垂直于均匀磁场的平面内以角速度ω转动. 如果转轴在导线上的位置是在_______, 整个导线上的电动势为最大, 其值为_________; 如果转轴位置是在___________, 整个导线上的电动势为最小, 其值为____________.(3) 半径为a 的无限长密绕螺线管, 单位长度上的匝数为n , 通以交变电流sin m i I t ω=, 则围在管外的同轴圆形回路(半径为r )上的感生电动势为______________.(4) 一自感系数为0.25H 的线圈, 当线圈中的电流在0.01s 内由2A 均匀地减小到零. 线圈中的自感电动势的大小为______________.(5) 产生动生电动势的非静电力是______________, 产生感生电动势的非静电力是______________, 激发感生电场的场源是______________. 答案：(1) 21065.1-⨯ (2) 端点，2B lω；中点，0。
(3) ()200 cos n r I t V μπωω- (4) 50V (5)洛伦兹力，感生电场力（或涡旋电场力），变化的磁场。
3. 计算题（1）面积为S 的单匝平面线圈，以恒定角速度ω在磁感强度k t B Bωsin 0=的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与B 垂直（ k 为沿z 轴的单位矢量）．设t =0时线圈的正法向与k同方向，求线圈中的感应电动势.解： 0cos sin cos m BS t B S t t ωωωΦ==220/(sin cos )m d dt B S t t ωωωΦ=-+)2cos(0t S B ωω=0cos(2)B S t εωω=-（2）电量Q 均匀分布在半径为a 、长为L( a L >>)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转, 一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图10.22所示). 若圆筒转速按照ω=ω0(1-t/t 0)的规律(ω0和t 0是已知常数)随时间线性地减小, 求圆形线圈中感应电流的大小和流向.解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流π⋅2ωL Q ，它和通电流螺线管的nI 等效．按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为：LQ B π=20ωμ (方向沿筒的轴向)筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为：2202m Q aa B LμωπΦ==在单匝线圈中产生感生电动势为m d dt εΦ=-=)d d (220t L Qa ωμ-20002Qa Lt μω= 感应电流i 为 2002Qa i RRLt μωε==a⊗ Bri 的流向与圆筒转向一致．（3）如图11.23所示, 一长圆柱状磁场，磁场方向沿轴线并垂直图面向里，磁场大小既随到轴线的距离r 成正比而变化，又随时间t 作正弦变化，即B =B 0r sin ωt ，B 0、ω均为常数．若在磁场内放一半径为a 的金属圆环，环心在圆柱状磁场的轴线上，求金属环中的感生电动势，并讨论其方向．解：取回路正向顺时针，则 20022sin am B rdr B r tdr ππωΦ==⎰⎰t a B ωsin )3/2(30π=30/(2/3)cos m d dt B a t επωω=-Φ=-当 0ε>时，电动势沿顺时针方向；当0ε<时，电动势沿逆时针方向．（4）两根平行无限长直导线相距为d, 载有大小相等方向相反的电流I, 电流变化率dI/dt=α且α＞0. 一个边长为d 的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d ，如图11.24所示.求线圈中的感应电动势ε，并说明线圈中的感应电流是顺时针还是逆时针方向. 解1：穿过面元d S 的磁通量为0012d d d d 2()2m IIΦB dS B S B dS d x x x d xμμππ=⋅=⋅+⋅=-+ 因此穿过线圈的磁通量为 220003d d d ln 2()224d d m m ddIdId Id ΦΦx x x d x μμμπππ==-=+⎰⎰⎰再由法拉第电磁感应定律，有0d 3d ln d 24d m Φd It t μεπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 解2：当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为03ln 24m Id Φμπ=线圈与两长直导线间的互感为03ln 24m Φd M I μπ== 当电流以tId d 变化时，线圈中的互感电动势为0d 3d ln d 24d d I I Mt tμεπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（5）一内外半径分别为R 1, R 2的均匀带电平面圆环, 电荷面密度为σ, 其中心有一半径为r 的导体小环(R 1>>r )，二者同心共面如图11.25所示. 设带电圆环以变角速度ω（t ）绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应电流i 等于多少？方向如何(已知小环的电阻为R ＇)？ 解：带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流I ，在R 1与R 2之间取半径为R 、宽度为dRR 1 R 2 rσω (t )的环带，环带内有电流 ()dI R t dR σω=，dI 在圆心处O 产生的磁场0011/()22B dI R t dR μμσω== 由于整个带电圆环面旋转，在中心产生的磁感应强度的大小为0211())2B t R R μσω=-（ 选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中20211())2m t R R r μσωπΦ=-（ 2021())2m L d r d t R R dt dtμπωεσΦ=-=--（ 2021()()2'r R R d t i RR dtμσεω-==-方向，当d ω(t)/dt ＞0时，i 与选定的正方向相反；当d ω(t)/dt ＜0时，i 与选定的正方向相同。
（6）如图11.26所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆a 端L/5处. 若已知地磁场 在竖直方向的分量为B. 求ab 两端间的电势差U a -U b .解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则425016d 50l Ob rB r B l εωω==⎰同理2501d 50l Oa rB r B l εωω==⎰∴221613()505010ab aO Ob B l B l εεεωω=+=-= (2)∵0>ab ε 即0<-b a U U∴b 点电势高．（7）如图11.27所示, 一长直导线通有电流I, 其旁共面地放置一匀质金属梯形线框a b c d a, 已知：da=ab=bc=L, 两斜边与下底边夹角均为60°，d 点与导线相距为 l. 今线框从静止开始自由下落H 高度, 且保持线框平面与长直导线始终共面, 求： ①下落H 高度后瞬间，线框中的感应电流为多少?r②该瞬时线框中电势最高处与电势最低处之间的电势差为多少?解：①由于线框垂直下落，线框所包围面积内的磁通量无变化，故感应电流I i =0②设dc 边长为l′，则由图可见 l′=L+2Lcos60°=2L 取d→c 的方向为dc 边内感应电动势的正向，则()002()'2ln2c cdc ddl v B dl vBdlu Idrr l l lgH l l Llεπ=⨯⋅==++=+=⎰⎰⎰cd 段内电动势ε的方向d→c 由于回路内无电流，llL gH I u U U V dc d c cd +==-=2ln220πε 因为c 点电势最高，d 点电势最低，故V 为电势最高处与电势最低处之间的电势差。
（8）如图11.28所示, 一长直导线载有电流I ，在它的旁边有一段直导线AB(AB=L),长直载流导线与直导线在同一平面内, 夹角为θ. 直导线AB 以速度v (v 的方向垂直于载流导线)运动. 已知: I=100A, v=5.0m/s, θ=30°, a=2cm, AB=16cm. 求: ①在图示位置AB 导线中的感应电动势ε． ②A 和B 哪端电势高.解：① AB 中的感应电动势为动生电动势，如图所示，d l 所在处的磁感强度为 )2/(0r I B π=μ d l 与d r 的关系为 d l = d r /sin θ令 b = a + L sin θ，AB 中的感应电动势为00()cos cos 22sin bL aI Iv drv B dl v dl r r μμεθθππθ=⨯==⋅⎰⎰⎰40sin cot ln 2.79102Iv L a aμθθπ-+==⨯ V ② B 端电势高．（9）载有恒定电流I 的长直导线旁有一半圆环导线cd,半圆环半径为b, 环面与直导线垂直,且半圆环两端点连线的延长线与直导线相交, 如图11.29所示. 当半圆环以速度v沿平行于直导线的方向平移时, 求半圆环上的感应电动势 解：由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势0ε=。