φ＝
一、选择题
α
1．已知 180°＜α <360°，则 cos 2 的值等于 (
)
1－ cos α
A．－
2
B.
1－ cos α 2
1＋ cos α
C．－
2
D.
1＋ cos α 2
2．函数 y＝ sin
x＋ π 3
＋ sin
x－π 3
的最大值是
(
)
1
A． 2 B ． 1 C.
D.
3
2
π
3．函数 f ( x) ＝ sin x－ cos x， x∈ 0， 2 的最小值为 (
2kπ
－
π 6
，
2kπ＋
5 6π
( k∈ Z) ，
令 k＝ 0 得增区间为
－
π 6
，
5 6π
.]
4 6． A [ ∵α 是第三象限角， cos α ＝－ 5，
3 ∴sin α ＝－ 5.
α sin 2
1＋
1＋ tan
α 2
α cos 2
cos
α 2
＋
sin
α 2
cos α2 ＋ sin
α 2
cos
α 2
＋
sin
α 2
1＋sin α
3 1－ 5
∴
α＝
1－ tan 2
α＝ α
α＝ α
α· α
α ＝ cos α ＝ 4
sin 2 cos 2 － sin 2 cos 2 － sin 2 cos 2 ＋ sin 2
－5
1－ α cos 2
1
＝－
.] 2
7． π
b
b
a
象限；② tan
φ＝
( a
或
sin
φ＝
a2＋ b2， cos φ＝
a2＋b2) ．
3．研究形如 f ( x) ＝asin x＋ bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正
弦函数或余弦函数的形式． 因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，
也
是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数
12．已知向量 m＝ (cos θ ， sin θ ) 和 n＝ ( 2－sin θ ，cos θ ) ，θ ∈ ( π， 2π ) ，且 | m
82 ＋n| ＝ 5 ，求
cos
θ 2
＋
π 8
的值．
能力提升
13．当 y＝2cos x－3sin x 取得最大值时， tan x 的值是 ( )
3
3
A. 2
B
．－ 2
C.
13 D ． 4
14．求函数 f ( x) ＝ 3sin( x＋20°) ＋ 5sin( x＋80°) 的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借
助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式 asin x＋ bcos x＝ a2＋b2sin( x＋φ ) ，其中 φ 满足： ① φ 与点 ( a， b) 同
a、 b 应熟练掌握．例如 sin x±cos x＝ 2
2
sin
x±
π 4
； sin
x±
3cos x＝ 2sin
x±
π 3
等．
知识梳理
§3.2 简单的三角恒等变换
1－ cos α
1＋ cos α
1．(1) ±
2
(2) ±
2
1－ cos α
sin α
a 2. a2＋ b2
b a2＋ b2 点 ( a， b)
2
2
(3)T
α 2
：
tan
α 2
＝
______________(
无理形式
) ＝ ________________ ＝______________( 有理
形式 ) ． 2．辅助角公式 使 asin x＋ bcos x＝ a2＋ b2sin( x＋ φ) 成立时， cos φ＝ __________________ ， sin ______，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象限由 __________ 决定．
§3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1. 了解半角公式及推导过程 .2. 能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等 变换 .3. 了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
1．半角公式
(1)S
α 2
：
sin
α 2
＝
____________________
；
(2)C α ： cos α ＝ ____________________________ ；
)
A．－ 2 B ．－ 3 C
4．使函数 f ( x) ＝ sin(2 x＋ θ ) ＋
π
π
π
A. 6
B.
3
C.
2
．－ 2 D ．－ 1
3cos(2 x＋ θ ) 为奇函数的 θ 的一个值是 (
2π
D.
3
5．函数 f ( x) ＝ sin x－ 3cos x( x∈[ － π ， 0]) 的单调递增区间是 ( )
( 如图所示 ) ．如果小正
方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 θ ，那么 cos 2 θ 的
值等于 ____．
三、解答题
11．已知函数
f ( x) ＝
3sin
2x
－
π 6
＋ 2sin
2
x－π12
( x∈ R) ．
(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期；
(2) 求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．
A.
－ π ，－ 5π 6
B.
－5π ，－ π
6
6C.－来自π 3，0
D.
－
π 6
，
0
α
4
1＋ tan 2
6．若 cos α ＝－ 5， α 是第三象限的角，则
α 等于 (
)
1－ tan 2
1
A．－ 2
B.
1
2
C
．2
D
．－ 2
题号
1
2
3
4
5
) 6
1
答案
二、填空题
7．函数 f ( x) ＝ sin(2 x－ π ) －2 2sin 2 x 的最小正周期是 ______． 4
8．已知等腰三角形底角的余弦值为
2 3，则顶角的正弦值是 ________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为
4 5，则底角的正切值为 ________．
10.
2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计
的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形
4． D [ f ( x) ＝ sin(2 x＋ θ ) ＋ 3cos(2 x＋ θ ) ＝2sin
2 当 θ ＝ 3π 时， f ( x) ＝ 2sin(2 x＋ π ) ＝－ 2sin 2 x.]
5． D
[ f ( x) ＝ 2sin
x－
π 3
， f ( x) 的单调递增区间为
2x＋
π 3
＋
θ
.
作业设计
1． C
π 2． B [ y＝2sin xcos 3 ＝ sin x． ]
(3) ±
1－ cos α sin α 1＋ cos α 1＋ cos α
3． D
[ f ( x) ＝
2sin
x－
π 4
，x∈
0，π2
.
∵－
π 4
≤
x－
π 4
≤
π 4
，
π ∴f ( x) ＝ min 2sin － 4 ＝－ 1.]