第一章三角函数1.1任意角和弧度制►1.1.1任意角课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、角的概念1．角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．()提示：(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与80°答案 C(2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．答案195°＋(－3)×360°课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1终边相同的角之间有什么关系？提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍．2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)；终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．题型一正确理解角的概念例1下列结论：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．[解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[答案]①角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了() A．60°B．－60°C．30°D．－30°(2)如图∠α＝__________，∠β＝__________.答案(1)B(2)－150°210°解析(1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.题型二终边相同的角的表示及象限角例2已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°.[解](1)∵－1910°÷360°＝－6余250°，∴－1910°＝－6×360°＋250°.相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.∴θ＝－110°或θ＝－470°.[变式探究]与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．答案240°－120°解析与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.怎样表示终边相同的角及象限角(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0°～360°范围内的角，然后再加k·360°(k∈Z)组成集合即可．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【跟踪训练2】在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.解(1)－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．题型三区域角的表示例3写出终边落在阴影部分的角的集合．[解]设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[变式探究]将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角．(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练3】写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．解(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．[规律小结]1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴＋270°(k ∈Z )，则k ·120°＋60°<α3<k ·120°＋90°(k ∈Z )，取k ＝0，得到α3可在第一象限；取k ＝1，得到α3可在第三象限；取k ＝2，得到α3可在第四象限．故选D.矫正训练 若α为第二象限的角，则α2为第几象限角？解 若α为第二象限角，则有k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z则k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z则k ＝2n (n ∈Z )时，α2为第一象限角；k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α2为第三象限角．故α2为第一或第三象限角.随堂消化吸收SUITANGXIAOHUAXISHOU 1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．不相等的角终边一定不同答案 B解析三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y轴非负半轴上的角，故A错误；钝角是第二象限角，B正确；象限角不能比较大小，故C错误；不相等的角终边也可能相同，如40°和400°，故D 错误．2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 B解析因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二象限．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案－5－60解析将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．若α为锐角，则－α＋k·360°(k∈Z)在第________象限．答案四解析由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋k·360°(k∈Z)在第四象限．5．[2016·大连高一检测]写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出来：(1)60°；(2)－21°.解第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；(2)S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}．第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的k值分别采用赋值法求出元素α；(1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.课后课时精练KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α＝－130°，则α的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．2．已知角α的终边落在直线y＝x上，则角α的集合S＝() A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}答案 D解析本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在直线y＝x上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225°，从而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选D.3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是()A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案 D解析当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角，当k 为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在() A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案 C解析由题意知β＋180°应与α终边相同，即α＝β＋180°＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝180°＋k·360°.故选C.5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案 C解析由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2016·广东佛山一中期中]终边在x轴上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k，k∈Z}解析本题考查终边相同的角的概念．终边在x轴正半轴上的角的集合为{β|β＝360°·k，k∈Z}，终边在x轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2k＋1)，k∈Z}，所以终边在x轴上的角β的集合为{β|β＝180°·k，k∈Z}．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因顺时针旋转的角为负角，∴分针转过的角为－43×360°＝－480°.8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }， N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N . 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S (包括边界)，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解 由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合 S ＝{β|120°＋k ·360°≤β≤250°＋k ·360°，k ∈Z }． ∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角．10．已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？ 解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．►1.1.2 弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、弧度的概念设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．()(2)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝k·360°＋π(k∈Z)．()(3)1 rad的角和1°的角大小一样．()(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．()提示：(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( ) A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案 C解析 由扇形面积公式S ＝12r 2·|α|可得 S ＝12×4×π3＝2π3，故选C. (2)角度与弧度互化：①7π6＝________；②－75°＝________. 答案 ①210° ②－5π12课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制与弧度制如何换算？提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.2扇形的弧长与面积的计算公式是什么？ 提示：l ＝|α|·r ，S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2. 题型一 弧度制的概念例1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A、B、C均为真命题．[答案] D“度”与“弧度”的区别和联系(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360.(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．【跟踪训练1】下列命题中，真命题是()A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案 D解析 根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知D 为真命题．故选D.题型二 弧度和角度的换算 例2 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π. [解] (1)20°＝20×π180＝π9. (2)－15°＝－15×π180＝－π12.(3)712π＝712π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.(4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.角度制与弧度制互化的注意事项(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad ”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________． (2)75π化成角度是________．答案 (1)－52π (2)252°解析 (1)－450°＝－450×π180＝－52π. (2)75π＝75π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝252°.题型三 用弧度表示角例3 (1)把下列角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：①16π3；②－315°.(2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．[解] (1)①16π3＝4π＋4π3. ∵0≤4π3<2π，∴16π3＝4π＋4π3.②－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4. ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)330°＝360°－30°＝2π－π6，而60°＝π3，它所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x 轴的正半轴．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z .弧度制表示角的注意事项(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－π，π)或(0,2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(2)终边在同一直线上的角可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z .【跟踪训练3】 (1)把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9 ＝－10π＋16π9， 又0≤16π9<2π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π. (2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同， ∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9. 令k ＝－2, 则β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9. 题型四 扇形的弧长与面积 例4 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[解] 设这个扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)．(1)由已知，得⎩⎨⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ R ＝3，l ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，l ＝6.由|α|＝l R 可得：α＝23或α＝6. (2)扇形的面积S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0<R <4)， 所以，当且仅当R ＝2时，S 取得最大值4. 这时，l ＝8－2R ＝4，可求出：α＝lR ＝2. 又∵0<2<π，∴|AB |＝2R ·sin α2＝4sin1.[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm ，面积改为2 cm 2，求圆心角的大小．解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)，则有⎩⎨⎧2R ＋l ＝612lR ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧ R ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2l ＝2，由|α|＝lR 得α＝4或α＝1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围．【跟踪训练4】 已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1) AB ︵的长； (2)弓形AOB 的面积． 解 (1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示．又S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点) ＝12×2×6cos30°×6×sin30°＝9 3. ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.[规律小结]1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；②定义不同． (2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可；(2)如无特别要求，不必把π写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度； (4)同一个式子中角度和弧度不能混用． [走出误区]易错点⊳角度制与弧度制的应用误区[典例] 将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．[错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315°.[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°， 所以－1485°可以表示为－10π＋74π.矫正训练 将17π4化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式为________．答案 2·360°＋45°解析 17π4＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°，故17π4＝2·360°＋45°.随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3 D.32π3答案 D解析 ∵1°＝π180弧度， ∴1920°＝1920×π180＝323π.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 ∵－3≈－171.9°，∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．3．[2016·南昌市高一月考]已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形中心角的弧度数是________．答案 2解析 由l ＝|α|·R 及S ＝12lR ，得S ＝12|α|R 2. ∴|α|＝2S R 2＝2R 2R 2＝2.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________． 答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z 解析 若角α的终边落在第二象限，则 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .5．将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z )，且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π12， ∴－1725°角与角5π12的终边相同． 又∵5π12是第一象限角， ∴－1725°是第一象限角． (2)∵64π3＝20π＋4π3， ∴角64π3与角4π3的终边相同． 又∵4π3是第三象限角， ∴64π3是第三象限角．,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－7π6答案 B解析 ∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－5π3 rad. 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288°D ．318°答案 C解析 ∵1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，∴8π5＝8π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝288°. 3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于y 轴对称，则α，β的关系一定是( )A ．α＋β＝πB ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) 答案 D解析 本题考查关于y 轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于y 轴对称，则画图可知α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，D 选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝π4，β＝3π4或α＝－π4，β＝－3π4，结合选项可知D 正确．故选D.4．[2016·兰州一中高一期末]已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析 由S ＝12lR 及|α|＝l R ，得S ＝12l 2|α|＝12·422＝4.5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案 C解析 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________. 答案 (1)7312π (2)－405° 解析 (1)1095°＝1095×π180＝73π12.(2)－94π＝－94π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－405°.7．若圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)答案 π2 cm 32π cm 2 解析 15°＝15×π180＝π12， l ＝|α|·r ＝π12×6＝π2 cm ， S ＝12l ·r ＝12×π2×6＝32π cm 2.8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．答案 13解析 本题考查弧长公式的应用．设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr ，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π. ∵角α与14π9终边相同， ∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.故当半径R＝5时，扇形的面积有最大值25 cm2.此时扇形的圆心角为α＝lR＝20－2×55＝2.课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、三角函数的定义1．单位圆中三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．2．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P的坐标(x，y)，它到原点的距离是r(r>0)，r＝x2＋y2，那么任意角的三角函数的定义：记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 三、诱导公式(一) 名称 符号语言文字语言 诱导 公式 (一)sin(2k π＋α)＝sin α (k ∈Z ) cos(2k π＋α)＝cos α (k ∈Z ) tan(2k π＋α)＝tan α (k ∈Z )终边相同的角的同名三角函数值相等1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin α，cos α，tan α中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( ) (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )(3)sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝sin π3＝32.( )提示：(1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)若sin α<0，且tan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 D解析 若sin α<0，则α为第三或第四象限角．若tan α<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________． 答案 0解析 sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.(3)tan390°的值为________．答案3 3解析tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝3 3.课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU1三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？提示：由三角函数的定义知sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(r>0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．题型一求任意角的三角函数值例1[2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sinθ＝24m，求cosθ与tanθ的值．[解]由已知有24m＝m3＋m2，得m＝0，或m＝±5.(1)当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.[变式探究] 将例1中的P 点坐标改为(3，m )再去求解． 解 ∵24m ＝mm 2＋3，∴m ＝0或m ＝±5，当m ＝0时，cos θ＝1，tan θ＝0； 当m ＝5时，cos θ＝64，tan θ＝153； 当m ＝－5时，cos θ＝64，tan θ＝－153.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． (3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．【跟踪训练1】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则2cos 2θ－1＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝t 5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. ∴2cos 2θ－1＝25－1＝－35.题型二 三角函数值的符号例2 (1)α是第四象限角，判断sin α·tan α的符号；(2)若sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝0，试判断α所在象限． [解] (1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0. (2)由条件知，sin α与cos α异号． ∴α是第二象限角或第四象限角．[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sin α·tan α的符号如何？解 ∵α是第三象限角， ∴sin α<0，tan α>0，∴sin α·tan α<0.熟记各象限函数值的符号准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号并牢记记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．【跟踪训练2】 (1)若sin α＝－2cos α，判断sin α·tan α的符号；(2)判断符号：sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵sin α＝－2cos α，∴sin α与cos α异号． ∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α<0，sin α>0，∴sin α·tan α<0. 当α是第四象限角时，tan α<0，sin α<0，∴sin α·tan α>0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0.∴sin3·cos4·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－234π<0.题型三 诱导公式(一)的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式化简(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．【跟踪训练3】 求值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π；(2)sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°. 解 (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[规律小结]1.对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P的横坐标x等于0，则tanα无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2.三角函数值在各象限内的符号(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的．(2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．3.诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．[走出误区]易错点⊳求三角函数定义域的误区[典例] 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围． [错解档案] 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0tan x ≥0①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0tan x ≤0② 对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角．因此x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ 2k π－π2≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋π2或x ＝⎭⎬⎫k π2，k ∈Z .[误区警示] 求y ＝sin x ·tan x 的x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错．[规范解答]所求x 应满足⎩⎨⎧sin x ·tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎨⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，或⎩⎨⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2(k ∈Z ).根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π－π2<x <2k π或2k π<x <2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z .矫正训练 求y ＝cos xsin x 的x 的取值范围． 解 ∵cos x ≥0∴x 为第一、四象限角或x 轴非负半轴上的角或y 轴上 又∵sin x ≠0 ∴x 不能在x 轴上∴x 为第一或第四象限角或y 轴上．x 的取值范围是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪ －π2＋2k π≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12 B.32 C.33 D ．±12答案 B解析 r ＝1，cos α＝x r ＝32.2．[2016·安徽中学高一段考]已知cos θ·tan θ>0，那么角θ是( ) A ．第一、二象限角 B ．第二、三象限角 C ．第三、四象限角 D ．第一、四象限角答案 A解析 由cos θ·tan θ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ>0，或⎩⎨⎧cos θ<0，tan θ<0.所以θ是第一、二象限角．3．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形答案 C解析 因为sin A >0，所以cos B ，tan C 中一定有一个小于0，即B ，C 中有一个钝角．4．填空：(填“>”“<”或“＝”)(1)sin 43π__________0; (2)cos 43π__________0； (3)tan 43π__________0; (4)sin360°__________0. 答案 (1)< (2)< (3)> (4)＝5．[2016·长春外国语学校期中]已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，35，求出a ，sin α，cos α，tan α的值．解 由角α的终边与单位圆相交，得 a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，即a ＝±45，又角α在第二象限，所以a ＝－45.∴sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．[2016·南昌市高一月考]sin420°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 D解析 sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32.2．[2016·山东烟台二中检测]已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 答案 D解析 本题主要考查三角函数的定义．由任意角的三角函数的定义，得tan θ＝y x ＝cos 3π4sin 3π4＝－2222＝－1.∵sin 3π4>0，cos 3π4<0，∴点P 在第四象限，∴θ＝7π4.故选D.。