第2章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·安徽合肥]某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案：A解析：由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.2. [2012·泰安第一次模拟]某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨 答案：C解析：依题意，设年增长率为x ，则40(1＋x )10＝50，即(1＋x )10＝54，∴该钢厂2010年的年产量约为50(1＋x )10＝50×54＝62.5(万吨)，故选C.3. [2012·成都龙泉第一中学月考]某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券：＝购买商品获得的优惠额商品的标价，试问：对于标价在[625,800]之内的商品，顾客要得到不小于13的优惠率，应购买商品的标价范围是( )A ．[525,600]B ．[625,750]C ．[650,760]D ．[700,800]答案：B解析：当标价为625元时优惠的钱数为625·0.2＋100＝225元，225625>13，据此可知应选B.4. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：( )A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1)C. y ＝log 3xD. y ＝2x －2答案：B解析：把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y ＝12(x 2－1)．5. [2011·北京]某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B解析：若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 6. 国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A. 2800元B. 3000元C. 3800元D. 3818元答案：C解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000).11%·x (x >4000)如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. 某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．答案：15解析：乘车里程数为7.4，则付费应为8＋1.5×4.4＝14.6，四舍五入后乘客应付的车费为15元．8. [2011·陕西]植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为__________米．答案：2000解析：本小题考查绝对值的几何意义． 设放在第x 个坑边，则s ＝20(|x －1|＋|x －2|＋…＋|20－x |) 由式子的对称性讨论，当x ＝10或11时， s ＝2000.当x ＝9或12时，S ＝20×102＝2040. ∴s min ＝2000(米)．9. [2012·广州一测]如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图像，则该质点运动的总路程s ＝__________cm.答案：11解析：∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s ＝12×(1＋3)×2＋2×3＋12×1×2＝11.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2012·南京模拟]某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P (亿元)和Q (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式P ＝163t ，Q ＝18t .今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x (亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y (亿元)．求：(1)y 关于x 的函数表达式； (2)总利润的最大值． 解：(1)根据题意，得 y ＝163x ＋18(5－x )，x ∈[0,5]． (2)令t ＝3x ，t ∈[0，15]，则x ＝t 23，y ＝－t 224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924.因为2∈[0，15]，所以当3x ＝2，即x ＝43时，y 最大值＝1924，所以总利润的最大值是1924亿元．11. [2012·福建龙岩一中月考]某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )． 解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )， 令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L (6＋2a 3)＝4(3－a3)3.∴Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a <92，4(3－a 3)3，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为(6＋2a 3)元时，L 最大，最大值为4(3－a3)3万元． 12. [2012·湖北黄冈中学模拟]市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A 型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p %(0<p <100，即销售100元要征收p 元)的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100－p元，预计年销售量将减少p 万件．(1)将第二年政府对该商品征收的税收y (万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p %的范围是多少？(3)在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？解：(1)依题意，该商品第二年的年销售量为(11.8－p )万件， 年销售收入为8000100－p (11.8－p )万元，政府对该商品征收的税收y ＝8000100－p(11.8－p )p %(万元)， 故所求函数为y ＝80100－p(11.8－p )p .由11.8－p >0及p >0得0<p <11.8，即该函数的定义域为{p |0<p <11.8}． (2)由y ≥16得80100－p(11.8－p )p ≥16， 化简得p 2－12p ＋20≤0，即(p －2)(p －10)≤0，解得2≤p ≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时，税收不少于16万元．(3)由(2)知，在第二年该厂的税收不少于16万元时， 厂家的年销售收入为g (p )＝8000100－p (11.8－p )(2≤p ≤10)．∵g (p )＝8000100－p (11.8－p )＝800(10－882100－p )在[2,10]是减函数，∴g (p )max ＝g (2)＝800(万元)．故当税率为2%时，厂家获得销售金额最大．。