函数的对称性与周期性一、相关结论1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同）① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。

② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。

③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。

④ 若)(1)(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。

3．自对称性（内反）①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2ba x +=对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。

②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2(ba +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。

③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2,2(cb a +对称。

4．互对称性①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2ab x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2(ab -对称；③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。

5． 对称性与周期性的关系①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期。

②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期。

若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||4a b -为一个周期。

二、基础练习1．已知定义在}0|{≠x x 上的奇函数)(x f ，在区间)0(∞+，上单调递增，且0)21(=f ，若ABC ∆的内角A 满足0)(cos <A f ，则角A 的取值范围是（ ） A ．),32(ππ B ．），（23ππ C ．），（323ππ D ．),32()2,3(ππππ2．定义在R 上偶函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当43≤≤x 时，2)(-=x x f ，则（ ）A )(cos )(sin 2121f f <B )(cos )(sin 33ππf f >C )1(cos )1(sin f f <D )(cos )(sin 2323f f >3．设)(x f 是以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，a f =)2(，则下列结论正确的是（ ） A ．2>a B ．2-<a C ．1>a D ．1-<a4．定义在R 上的函数)(x f y =满足：)()(x f x f -=-，)1()1(x f x f -=+，且当]1,1[-∈x 时，3)(x x f =，则=)2010(f （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设)(x f y =是R 上的偶函数，0)0(=f ，)(x g y =是R 上的奇函数，且对于R x ∈恒有)1()(+=x f x g ，则=)2008(f ________6．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下列三个命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称；②若对于任意R x ∈有)1()1(-=+x f x f ，则)(x f y =的图像关于点)0,1(对称；③)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f y =为偶函数。

其中正确命题的序号为___________7．若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足)2()(ppx f px f -=（R x ∈），则)(x f 的一个周期为___________8.定义在]2,2[-上的偶函数)(x f ，在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围是___________三、补充练习1.设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为（ ）A ．18B ．12C ．9D ．0 2.若的图象关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．D ． 3.定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 4.设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g-1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。

5. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.56.函数 y = sin (2x + 25π)的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = －2π (B) x = －4π (C) x = 8π(D) x =45π7.已知是定义在实数集R 上的偶函数，是R 上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2），则的值为8.函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为 。

9.已知定义在实数集R 上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。

参考答案：1D ，2C ，3D ，4C ；5.0；6.①③；7.2p；8. ]21,1[-提示：3.∵)()3(x f x f =-∴1)1()31()2()2(-<-=--=--=f f f f 4. ∵)1()]1([)1()1(--=--=-=+x f x f x f x f ， ∴)(]1)1[()]1(1[)2(x f x f x f x f -=-+-=++=+，∴)()]([)2()]2(2[)4(x f x f f x f x f x f =--=+-=++=+，∴4=T5. )1()1()()(+-=+-⇒-=-x f x f x g x g ，)1()1()()(-=+-⇒=-x f x f x f x f ，∴)1()1(+-=-x f x f 即)2()(+-=x f x f ，∴)()4(x f x f =+即4=T7. 令2p px t -=，则)()2(t f p t f =+，2p T = 8. |)(||)1(|m f m f <-⇒]21,1[-补充练习答案： 1解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A 。

2解：由得)24sin()24cos(-x a x -+-=ππ)8(2sin )8(2cos ππ----=x a x即∴3解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)4解：∵y = f(x －1)和y = g-1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，∴y = g-1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g-1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x),∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001，故f(4) = 2001,应选（C ） 5解：：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 6解：函数 y = sin (2x +25π)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25π = k π+2π∴x =2πk －π,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －2π 故选(A) 7解：由条件（2）知，令，则，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以8解：依条件，设，则，故 9解当时，，当时，，1．函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。

（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。

故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b +对称，反之亦然。

证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y 令a+0x ='x , b －0x ="x则Ａ（'x ，0y ），Ｂ（"x ，0y ）是函数y=f(x)上的点显然，两点是关于x= 2a b+对称的。