➢ 其次,当时通过实验方法是不能证明定律成 立的.Newton通过他的第二定律(加速度定 律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心 加速度相等的方法,证明定律的正确性.
➢ 太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运 行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分 析法都能证出太阳对行星的引力符合 万有引力定律.
太水金地火木土天
➢ 实质:
➢ 对数学有一个本质的理解(有利于数学的研 究)-----居高临下.
➢ 数学的一个重要方面:数学在实际中的应用.
➢ 数学与其它学科一样,都是为人类生产斗争 和社会实践服务的.数学在与实践的关系中, 不仅有理论上的价值与作用,而且对深入了 解其它学科是有基础性的作用.
➢数学的作用就是解决实际问题.
模型一. 万有引力模型
万有引力定律的发现是人类走向科学的 一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它 为当今的天文学和航天科学奠定了基础. 在这个模型中,包括两个部分: ㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这一定 律的; ㈡.在比Newton更一般的情况下,用向量分析 法推导定律.
➢ Newton推导万有引力的基础.
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式:
a b c 2R sinA sinB sinC
余弦公式: c o s 2 A c o s 2 B c o s 2 C 2 c o s B c o s C
fm a ,
FK m r2 1m 2 ,L
公式,方程,曲线,图表…等
为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数 学模型(简称建模).解出数学模型,找到规律.
➢有的就是直接解决实际问题.
➢科学研究是由实验阶段进入理性阶 段(以推理为主的),此时,数学的作 用就更大了.
例:卫星轨道的确定.
(历史上海王星的发现以及哈雷慧星的轨道计 算都是由数学系算出来的)
现在自然科学方面的论文(物理,化学,自动控 制,…)没有数学论证,价值就不大.
定义:数学模型(Mathematical Model)是对客 观世界中的某一特定对象,为了某个特定目 的,作出一些必要的简化和假设,运用合适的 数学工具,得到的一个数学结构.(可以是公式, 图表,图象等)
本课程为考试课
作业（10%）+笔记（10%）+ 考卷（论文80%）
序言
➢ 一 教学目的 ➢ 1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数
学模型等内容,使学生了解数学模型是用数 学方法解决实际问题时的数学形式,它是实 际问题和数学间的桥梁. ➢ 2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天, 数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚 至是不可缺少的.
➢ 3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析 中,数学模型是非常重要的.
➢ 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. ➢ 5.了解数学的理论体系. ➢ 6.了解数学之发展概况. ➢ 7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能
力. ➢ 8.培养学生的科研论文写作能力.
➢二 本课性质
➢作为数学系毕业生,大部分从事初 等数学教学的研究,而在大学学习 阶段主要学习高等数学(这与初等 数学相距甚远),这是为什么?
➢ 他们的作法:把一个小山作为M ,在山的 附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G ,都未成功.
➢ 直到1798年(离Newton发现定律130多 年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数 G 6 .7 1 1 0 1 3N cm 2g 2
➢ ① Kepler三定律.
➢ ② Newton第二定律.
➢ Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”.
➢ Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了证明.
➢ 此后此数字相继得到修正. ➢ 1892年.庞廷.Pantin.
G 6 .6 9 8 1 0 1 3N c m 2g 2 ➢ 1895年.博斯.Boss.
G ( 6 .6 5 8 0 .0 0 0 6 1 0 1 3 ) N c m 2g 2 ➢ 1930年.海尔.Hale.
G ( 6 .6 7 0 0 .0 0 5 1 0 1 3 ) N c m 2g 2
➢ Newton得到的万有引力定律是在特殊情 况下得到的,对于一般情况,即椭圆轨道上 的定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
➢ 今天数学发展了,数学工具也增加了.用向 量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
➢ 要求学生了解Newton在知道万有引力过程 中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律.
海
冥
九大行星示意图
➢ 万有引力模型.
F
G
Mm R2
➢ Newton:1684年在《自然哲学》发表的.
➢ 定律: 宇宙中任何物体之间,都存在相互作 用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量 乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作 用力方向沿两个物体联线方向.
m
R
R ： 两 物 体 质 心 距 离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
➢ (一)定律的来源探讨: ➢ 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. ➢ 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多
科学家都想通过实验证明它,都未成功. ➢ 1740年.布格,Buger. ➢ 1712年.马斯科林.Maskilin. ➢ 1854年.艾里.Anlli. ➢ 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
➢ 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
➢ (二) Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,